Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul a de-a lungul potecilor din parc la fiecare bifurcație, el alege la întâmplare. eveniment opus. Probabilitate. Ce este asta

Liceul MBOU Ostankino

Pregătirea pentru examen

Rezolvarea problemelor în teoria probabilităților

Două automate identice vând cafea în mall. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Găsiți probabilitatea ca până la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele automate.

A - cafeaua se va termina la primul aparat; B - cafeaua se va termina în a doua mașină.

Conform sarcinii,

rețineți că aceste evenimente nu sunt independente, altfel

Probabilitatea evenimentului opus „cafea va rămâne în ambele aparate” este egală cu

Există două tipuri de vreme în Fairyland: bună și excelentă, iar vremea, după ce s-a așezat dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu o probabilitate de 0,8 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Fairyland este bună. Găsiți probabilitatea ca în Magicland să fie vreme grozavă pe 6 iulie.

4 opțiuni: XXO, XOO, OXO, OOO

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+

0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Răspuns: 0,392

Ou cumpărat de la 1 fermă

Ou cumparat de la 2 ferme

P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35

Două fabrici ale aceleiași firme produc aceleași telefoane mobile. Prima fabrică produce 30% din toate telefoanele acestui brand, iar a doua - restul telefoanelor.Se știe că dintre toate telefoanele produse de prima fabrică, 1% au defecte ascunse, iar cele produse de a doua fabrică au 1,5% Găsiți probabilitatea ca telefonul achiziționat din magazin, al acestui brand să aibă un defect ascuns.

Telefon eliberat

la 1 fabrică

Telefon eliberat

la 2 fabrici

D-phone are un defect

0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

Răspuns: 0,0135

Ochelari eliberați

1 fabrică

ochelari eliberați

2 fabrica

Ochelarii D sunt defecte

0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019

Răspuns: 0,019

Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce. Diagrama căii este prezentată în figură. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovich să ajungă la punctul G

Răspuns: 0,125

Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce. Diagrama căii este prezentată în figură. Unele dintre trasee duc la satul S, altele - la câmpul F sau la mlaștina M. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovici să rătăcească în mlaștină.

Evenimentul A - sunt mai puțin de 15 pasageri în autobuz

Evenimentul B - într-un autobuz de la 15 la 19 pasageri

Evenimentul A + B - sunt mai puțin de 20 de pasageri în autobuz

Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P(A + B) = P(A) + P(B).

P (B) \u003d 0,94 - 0,56 \u003d 0,38.

P(A + B+ C) = P(A) + P(B)+ P(C)= P(A) + P(B)

P(A)=0,97-0,89=0,08

Evenimentul A - studentul va rezolva 11 probleme

Evenimentul B - studentul va rezolva mai mult de 11 probleme

Evenimentul A + B - studentul va rezolva mai mult de 10 probleme

Răspuns: 0,035

Evenimentul A – John va lua

împușcat cu revolver

Evenimentul B – John va lua

revolver netras

p(A)=0,4 p(B)=0,6

0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52

Pacientul evenimentului A are hepatită

Evenimentul B - pacientul nu are hepatită

0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545

Răspuns: 0,0545

0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296

Răspuns: 0,0296

Înainte de începerea unui meci de fotbal, arbitrul aruncă o monedă pentru a determina ce echipă va începe mingea. Echipa Fizicianului joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca în aceste jocuri „Fizicianul” să câștige lotul exact de două ori

Convertiți în monede Deoarece există 3 meciuri, o monedă este aruncată de trei ori.

Evenimentul A - vulturul va cădea de 2 ori (în jocurile „Fizicianul” va câștiga lotul exact de două ori)

Cases LLC, ORO, ROO

Răspuns: 0,375

Vă mulțumim pentru atenție

Descrierea prezentării pe diapozitive individuale:

1 tobogan

Descrierea diapozitivului:

2 tobogan

Descrierea diapozitivului:

Două automate identice vând cafea în mall. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Găsiți probabilitatea ca până la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele automate. A - cafeaua se va termina la primul aparat; B - cafeaua se va termina în a doua mașină. Prin condiția problemei, observăm că aceste evenimente nu sunt independente, altfel Probabilitatea evenimentului opus „cafea va rămâne în ambele mașini” este egală cu Răspuns: 0,52

3 slide

Descrierea diapozitivului:

Există două tipuri de vreme în Fairyland: bună și excelentă, iar vremea, după ce s-a așezat dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu o probabilitate de 0,8 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Fairyland este bună. Găsiți probabilitatea ca în Magicland să fie vreme grozavă pe 6 iulie. 4 opțiuni: XXO, XOO, OXO, LLC 0,8+ +0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392 Răspuns: 0,392

4 slide

Descrierea diapozitivului:

Ou cumpărat de la ferma 1 - ou cumpărat de la ferma 2 P∙0.4+(1-p)∙0.2=0.35 0.2p=0.15 p=0.75 Răspuns: 0.75 D-ou Cea mai înaltă categorie Agrofirma cumpără ouă de găină în două gospodării. 40% din ouăle din prima fermă sunt ouă de cea mai înaltă categorie, iar din a doua fermă 20% din ouăle din cea mai înaltă categorie. În total, 35% dintre ouă primesc cea mai înaltă categorie.Găsiți probabilitatea ca un ou achiziționat de la această fermă să fie din prima fermă.

5 slide

Descrierea diapozitivului:

Două fabrici ale aceleiași firme produc aceleași telefoane mobile. Prima fabrică produce 30% din toate telefoanele acestui brand, iar a doua - restul telefoanelor.Se știe că din toate telefoanele produse de prima fabrică, 1% au defecte ascunse, iar cele produse de a doua fabrică. au 1,5% Găsiți probabilitatea ca telefonul achiziționat din magazin să aibă un defect ascuns. - telefonul a fost produs la fabrica 1 - telefonul a fost produs la fabrica 2 D - telefonul are un defect 0.3∙0.01+0.7∙0.015=0.003+0.0105=0.0135

6 slide

Descrierea diapozitivului:

Ochelari produsi de 1 fabrică de sticlă produse de 2 fabrici Ochelarii D sunt defecte 0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019 Răspuns: 0,019 Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto.Prima fabrică de 4 5% din sticlă , a doua - 55%.Prima fabrică produce 3% ochelari defecte, a autorului - 1%.Găsiți probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental într-un magazin să fie defect.

7 slide

Descrierea diapozitivului:

Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce. Diagrama căii este prezentată în figură. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovici să lovească punctul G Răspuns: 0,125

8 slide

Descrierea diapozitivului:

Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce. Diagrama căii este prezentată în figură. Unele dintre trasee duc la satul S, altele - la câmpul F sau la mlaștina M. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovici să rătăcească în mlaștină.

9 slide

Descrierea diapozitivului:

Evenimentul A - există mai puțin de 15 pasageri în autobuz Evenimentul B - există de la 15 până la 19 pasageri în autobuz Evenimentul A + B - există mai puțin de 20 de pasageri în autobuz Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea lor suma este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B). P (B) \u003d 0,94 - 0,56 \u003d 0,38. Răspuns: 0,38 Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat.Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 20 de pasageri în autobuz este de 0,94.Probabilitatea ca să fie mai puțin de 15 pasageri este de 0,56.Aflați probabilitatea ca numărul de pasageri va fi de la 15 la 19.

10 diapozitive

Descrierea diapozitivului:

P(A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) \u003d P (A) + P (B) P (A) \u003d 0,97-0,89 \u003d 0,08 Răspuns: 0,08 Probabilitatea ca un fierbător electric nou să reziste mai mult de un an este de 0,97.Probabilitatea ca acesta să reziste mai mult de doi ani este de 0,89.Aflați probabilitatea ca acesta să reziste mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an. Evenimentul A - ibricul va dura mai mult de un an, dar mai puțin de doi ani Evenimentul B - ibricul va dura mai mult de doi ani Evenimentul C - ibricul va dura exact doi ani A + B + C - ibricul va dura mai mult de un an Evenimentele A, B și C nu sunt combinate, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.doi ani - strict aceeași zi, o oră și o secundă - este egal cu zero.

11 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Evenimentul A - studentul va rezolva 11 probleme Evenimentul B - studentul va rezolva mai mult de 11 probleme Evenimentul A + B - studentul va rezolva mai mult de 10 probleme Р(А)=0,74-0,67=0,07 test la biologie studentO. rezolvă corect mai mult de 11 probleme este 0,67.Probabilitatea ca O. să rezolve corect mai mult de 10 probleme este 0,74.Aflați probabilitatea ca O. să rezolve corect exact 11 probleme. Evenimentele A și în afara, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: P(A + B) = P(A) + P(B).

12 slide

Descrierea diapozitivului:

1-0,965 = 0,035 Răspuns: 0,035 Când se fabrică rulmenți cu diametrul de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu cel mult 0,01 mm este de 0,965. Aflați probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic. peste 66,99 mm sau mai mult de 67,01 mm.

13 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Evenimentul A – John va împușca un revolver Eveniment B – John va împușca un revolver p(A)=0,4 p(B)=0,6 0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52 Răspuns: 0,52 Cowboy John lovește o muscă de perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage cu un revolver. Dacă John trage din exteriorul unui revolver împușcat, atunci el lovește musca cu o probabilitate de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Un eveniment care constă din acele și numai acele rezultate elementare ale experienței care nu sunt incluse în A se numește opusul evenimentului A.

Evenimente incompatibile- evenimente care nu au loc într-o singură experiență. De exemplu, evenimentele opuse sunt incompatibile.

Probabilități de evenimente opuse:

; .
Formula de adunare a probabilității pentru evenimente comune: Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune A și B este egală cu suma probabilităților lor fără probabilitatea apariției lor comune. .
Formula de adunare a probabilităților pentru evenimente incompatibile: Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre cele două evenimente incompatibile A și B este egală cu suma probabilităților acestora.

Formula de multiplicare a probabilității pentru evenimente independente: Probabilitatea apariției comune a două evenimente independente A și B este egală cu produsul probabilităților evenimentelor A și B.

Formula de multiplicare a probabilității pentru evenimente dependente: Probabilitatea apariției comune a două evenimente dependente A și B este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt.

Iată o diagramă care facilitează utilizarea formulelor în rezolvarea problemelor:

Probabilitatea ca un nou pix să scrie prost (sau să nu scrie) este de 0,1. Cumpărătorul din magazin alege un astfel de stilou. Găsiți probabilitatea ca acest stilou să scrie bine.

Soluţie.
Să definim evenimentul A= (pen-ul selectat scrie bine).
Apoi evenimentul opus = (penul ales scrie prost).
Din condiție, cunoaștem probabilitatea evenimentului opus: .
Folosim formula pentru probabilitatea evenimentului opus: .
Răspuns: 0,9.

10. La examenul de geometrie, studentul primește o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu cerc înscris este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu paralelogram este de 0,15. Nu există întrebări legate de aceste două subiecte în același timp. Găsiți probabilitatea ca studentul să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Soluţie.
Să definim evenimentele:
A= (întrebare pe tema „Cercul înscris”),
B= (întrebare pe tema „Paralelogram”).
Evenimentele A și B sunt incompatibile, deoarece prin condiție nu există întrebări în listă legate de aceste două subiecte în același timp.
Evenimentul C= (întrebare pe unul dintre aceste două subiecte) este unirea lor: .
Aplicam formula de adunare a probabilitatilor de evenimente incompatibile: .
Răspuns: 0,35.

Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 20 de pasageri în autobuz este de 0,94. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 15 pasageri este de 0,56. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie între 15 și 19.



Soluţie.
Luați în considerare evenimentele A = „sunt mai puțin de 15 pasageri în autobuz” și B = „sunt între 15 și 19 pasageri în autobuz”. Suma lor este evenimentul A + B = „mai puțin de 20 de pasageri în autobuz”. Evenimentele A și B sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P(A + B) = P(A) + P(B).

Apoi, folosind datele problemei, obținem: 0,94 = 0,56 + P(B), de unde P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Răspuns: 0,38.

Două automate identice vând cafea în mall. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Găsiți probabilitatea ca până la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele automate.

Soluţie.
Să definim evenimentele
A= (cafea se va termina la prima mașină),
B= (cafea se va termina în a doua mașină).
După starea problemei și .
Folosind formula de adunare a probabilităților, găsim probabilitatea unui eveniment
= (cafea se va termina în cel puțin una dintre aparate): .
Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus (cafea va rămâne în ambele aparate) este P=1-0,48=0,52.
Răspuns: 0,52.

Biatletul trage de cinci ori la ținte. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie.
În această problemă, se presupune că rezultatul fiecărei fotografii următoare nu depinde de cele anterioare. Prin urmare, evenimentele „lovin la prima lovitură”, „lovin la a doua lovitură”, etc. independent.
Probabilitatea fiecărei lovituri este de 0,8. Deci probabilitatea fiecărei rateuri este 1-0,8=0,2. Folosim formula de înmulțire a probabilităților de evenimente independente. Obținem secvența
A= (loviți, loviți, loviți, ratați, ratați) are probabilitate.
Răspuns: 0,02.



În magazin există două automate de plată. Fiecare dintre ele poate fi defect cu o probabilitate de 0,05, indiferent de celălalt automat. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un automat să fie funcțional.

Soluţie.
Această problemă presupune și independența funcționării automatelor.
Aflați probabilitatea evenimentului opus
= (ambele mașini sunt defecte).
Pentru a face acest lucru, folosim formula de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente: .
Prin urmare, probabilitatea evenimentului A= (cel puțin un automat este operațional) este egală cu .
Răspuns: 0,9975.

15. În timpul tragerii de artilerie, sistemul automat trage la țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul declanșează din nou. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar cu fiecare lovitură ulterioară - 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98?

Soluţie.
Să găsim probabilitatea evenimentului opus, care este că ținta nu va fi distrusă în interior n lovituri. Probabilitatea de a rata la prima lovitură este de 0,6, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,4. Aceste evenimente sunt independente, probabilitatea produsului lor este egală cu produsul probabilității acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a lipsi n lovituri este egală cu: . Rămâne de găsit cea mai mică soluție naturală a inegalității; . Verificarea constantă a valorilor n, egal cu 1, 2, 3 etc constatăm că soluția dorită este n=5. Prin urmare, este necesar să faceți 5 lovituri.

Puteți rezolva problema „prin acțiuni”, calculând probabilitatea de a supraviețui după o serie de rateuri succesive:

P(1) = 0,6.
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24.
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096.
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,015536.
Ultima probabilitate este mai mică de 0,02, deci cinci lovituri la țintă sunt suficiente.

16. Înainte de începerea unui meci de volei, căpitanii de echipă trag la sorți pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Stator joacă pe rând cu echipele Rotor, Motor și Starter. Găsiți probabilitatea ca Stator să înceapă doar primul și ultimul joc.

Soluţie.
Este necesar să se găsească probabilitatea de produs a trei evenimente: „Stator” începe primul joc, nu începe al doilea joc, începe al treilea joc. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Probabilitatea fiecăreia dintre ele este 0,5, de unde găsim: Р=0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Un alt mod de a rezolva:

Deoarece Dacă extragerea poate fi considerată ca o aruncare de monede, atunci problema poate fi rezolvată folosind tehnologia de rezolvare a problemelor cu monede. Tragerea la sorți a avut loc de trei ori, deci N=2 3 =8. Să atribuim evenimentului elementar „Stator începe jocul” valoarea „Eagle”. Atunci un rezultat favorabil corespunde numai combinației „ORI”, adică. N(A)=1. De aceea

Răspuns: 0,125.

17. În clasă sunt 21 de elevi. Printre ei se numără și două prietene: Anya și Nina. Clasa este împărțită aleatoriu în 3 grupuri a câte 7 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anya și Nina să fie în același grup.

Soluţie.
Prietenii pot fi împreună în oricare dintre cele trei grupuri. Să luăm în considerare un grup. Probabilitatea ca Anya să fie în el este egală cu . Dacă Anya este deja în acest grup, atunci probabilitatea ca Nina să fie în același grup este de . Astfel, probabilitatea ca ambii prieteni să fie în acest grup este egală cu . Aceeași va fi și probabilitatea ca Anya și Nina să fie în grupa a doua sau în grupa a treia. Aceste evenimente sunt incompatibile, atunci probabilitatea dorită este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

Răspuns: 0,3.

În următoarele probleme, este convenabil de utilizat arborele de probabilitate. În ceea ce privește sarcinile, arborele este construit direct în stare. În alte sarcini, acest arbore ar trebui să fie construit.

18. Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce.
Diagrama căii este prezentată în figură. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovich să ajungă la punctul G.

Soluţie.
Diagrama traseului este un grafic, și anume un arbore. Marginile (ramurile) copacului corespund potecilor. Lângă fiecare margine scriem probabilitatea ca Pavel Ivanovich să meargă pe calea corespunzătoare. Alegerea căii la fiecare bifurcație are loc la întâmplare, astfel încât probabilitatea este împărțită în mod egal între toate posibilitățile. Să presupunem că Pavel Ivanovich a ajuns la vârful C. Trei muchii CH, CK și CL ies din el. Prin urmare, probabilitatea ca Pavel Ivanovich să aleagă muchia CH este de 1/3. În mod similar, puteți aranja toate probabilitățile.

Fiecare traseu de la punctul de început A la oricare dintre punctele de sfârșit este un eveniment elementar în acest experiment. Evenimentele de aici nu sunt la fel de probabile. Probabilitatea fiecărui eveniment elementar poate fi găsită prin regula înmulțirii.
Trebuie să găsim probabilitatea unui eveniment elementar
G= (Pavel Ivanovici a ajuns la punctul G).

Acest eveniment constă în faptul că Pavel Ivanovich a trecut de ruta ABG. Probabilitatea se găsește prin înmulțirea probabilităților de-a lungul muchiilor AB și BG: .
Răspuns: 0,125.

19. Figura prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirint în punctul „Intrare”. Păianjenul nu poate să se întoarcă și să se târască înapoi, prin urmare, la fiecare bifurcație, păianjenul alege una dintre căile pe care nu s-a târât încă. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate va ajunge păianjenul la ieșire.

Soluţie.

La fiecare dintre cele patru bifurcări marcate, păianjenul poate alege fie calea care duce la ieșirea D, fie o altă cale cu o probabilitate de 0,5. Acestea sunt evenimente independente, probabilitatea produsului lor (păianjenul ajunge la ieșirea D) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a ajunge la ieșirea D este (0,5) 4 = 0,0625.

Răspuns: 0,0625.

Luați în considerare o problemă care generalizează condițiile unui număr de probleme probabilistice rezolvate folosind un arbore de probabilitate.

În unele experimente, probabilitatea evenimentului A este 0,3. Dacă are loc evenimentul A, atunci probabilitatea evenimentului C este 0,2, în caz contrar probabilitatea evenimentului C este 0,4. Aflați probabilitatea evenimentului C.

Soluţie.
În astfel de probleme, este convenabil să descriem experimentul grafic ca un arbore de probabilități. Diferența față de problemele anterioare este că probabilitățile pe margini sunt obținute nu din echiprobabilitate, ci într-un mod diferit.

Notăm întregul experiment cu o literă (omega mare) și punem un punct lângă această literă - rădăcina copacului, din care ramurile-costițele cresc în jos. Să desenăm o muchie în jos-stânga de la un punct la punctul A. Evenimentul A are o probabilitate de 0,3, așa că semnăm această muchie cu o probabilitate de 0,3. Evenimentul opus are o probabilitate de 0,7. Desenați a doua margine până la punct.

Dacă evenimentul A a avut loc, atunci evenimentul C prin condiție are o probabilitate de 0,2. Prin urmare, din punctul A trasăm o muchie în jos-stânga până la punctul C și semnăm probabilitatea. Procedând în același mod în continuare, completăm întregul arbore (vezi Fig.).

Pentru a găsi probabilitatea evenimentului C, trebuie să selectăm doar acele căi care duc de la punctul rădăcină la evenimentul C. În figură, aceste căi sunt luminoase, iar căile care nu duc la C sunt arătate palide. Căile distinse sunt evenimentele elementare care favorizează evenimentul C.

Acum trebuie să calculăm probabilitățile căilor selectate și să le adăugăm. Folosind regulile înmulțirii și adunării probabilităților, obținem:

.
Răspuns: 0,34.

20. Două fabrici ale aceleiași companii produc aceleași telefoane mobile. Prima fabrică produce 30% din toate telefoanele acestui brand, iar a doua - restul telefoanelor. Se știe că dintre toate telefoanele produse de prima fabrică, 1% au defecte ascunse, iar 1,5% din toate telefoanele fabricate de a doua fabrică. Găsiți probabilitatea ca un telefon de acest brand cumpărat dintr-un magazin să aibă un defect ascuns.

Soluţie.
Să introducem notația pentru evenimente:
A 1 = (telefon lansat la prima fabrică),
A 2 = (telefon fabricat în a doua fabrică),
D= (telefonul are un defect ascuns).

.
Răspuns: 0,0135

21. O firmă agricolă cumpără ouă de găină de la două gospodării. 40% din ouăle din prima fermă sunt ouă de cea mai înaltă categorie, iar din a doua fermă - 20% din ouăle din cea mai înaltă categorie. În total, 35% dintre ouăle din aceste două ferme primesc cea mai înaltă categorie. Găsiți probabilitatea ca oul achiziționat de la această fermă să fie de la prima fermă.

Soluţie.
Această problemă este inversul celei anterioare. Să numim evenimentul „oul are cea mai înaltă categorie” H. Să numim evenimentele „oul a venit din prima fermă” și „oul a venit din a doua fermă” A 1 și, respectiv, A 2. Fie p probabilitatea dorită a evenimentului A 1 și desenează un arbore.

Primim: .
Prin condiție, această valoare este egală cu 0,35.
Apoi ,
de unde și, deci, .
Răspuns: 0,75.

22. Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage cu un revolver. Dacă John trage un revolver neîmpușcat, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,2. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 4 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

În funcție de starea problemei, vom face un arbore și vom găsi probabilitățile necesare.


(A)
(ÎN)

John va rata dacă: A) apucă un revolver tras și ratează cu el sau dacă B) apucă un revolver netras și ratează cu el. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt, respectiv, P(A)=0,4 (1 - 0,9) = 0,04 și P(B)=0,6 (1 - 0,2) = 0, 48. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Atunci probabilitatea dorită este P=0,04 + 0,48 = 0,52.

Răspuns: 0,52.

23. Tuturor pacienților cu suspiciune de hepatită li se face un test de sânge. Dacă analiza dezvăluie hepatită, atunci rezultatul analizei este numit pozitiv. La pacienții cu hepatită, analiza dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, atunci testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,01. Se știe că 5% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au de fapt hepatită. Găsiți probabilitatea ca rezultatul testului unui pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie pozitiv.

În funcție de starea problemei, vom face un arbore și vom găsi probabilitățile necesare.

(A)
(ÎN)

Analiza pacientului poate fi pozitivă din două motive: A) pacientul are hepatită, analiza lui este corectă; B) pacientul nu are hepatită, analiza lui este falsă. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem: 4 iulie P(A) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128;
P(B) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128;
P(C) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008;
P(D) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128.

Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P= 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

    Slide 4

Vizualizați conținutul documentului
„Cum să rezolvi problemele de probabilitate”

Mitrofanova Snezhana Viktorovna, MBOU „Școala Verkhovskaya” Regiunea Vologda

Subiect: Atelier de rezolvare a problemelor din teoria probabilității.

Slide 1

Cum se rezolvă problemele de probabilitate?

Probabilitate. Ce este asta?

Slide 2

Teoria probabilității, după cum sugerează și numele, se ocupă de probabilități. Suntem înconjurați de multe lucruri și fenomene despre care, oricât de avansată ar fi știința, este imposibil să facem predicții precise. Nu știm ce carte vom trage aleatoriu din pachet sau câte zile va ploua în luna mai, dar cu câteva informații suplimentare putem face predicții și calcula probabilitățile acestor evenimente aleatorii.

Astfel, ne confruntăm cu conceptul de bază eveniment aleatoriu- acestea sunt fenomene, al căror comportament nu poate fi prezis, sau este un experiment, al cărui rezultat nu poate fi calculat în prealabil etc. Probabilitățile evenimentelor sunt calculate în probleme tipice de USE.

Slide 2 (UNUL DIN NOU)

Probabilitate- aceasta este o funcție, strict vorbind, care ia valori de la 0 la 1 și caracterizează un eveniment aleator dat.

Apoi folosim diagramă exemplu, care ar trebui utilizat pentru a rezolva probleme standard de învățare pentru calcularea probabilității unui eveniment aleatoriu,

Slide 3

iar mai jos cu exemple voi ilustra aplicarea acestuia.

    Găsiți întrebarea principală a sarcinii (găsiți care este rezultatul sarcinii, găsiți rezultate favorabile.)

    Selectați o formulă (sau mai multe) pentru soluție.

Slide 4

DE CE CITIM SARCINI CU ATENȚIE?

Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să poată răspunde la biletul ales la întâmplare?

Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?

Slide 5,6,7


Slide 8.9

Slide 10

Sarcina 1.

Slide 11

Soluţie.

Slide 12

0,5 0,25= 0,125

Slide 13

Sarcina 2.

Slide 14

Soluţie.

P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)

Slide 15

Slide 16


Slide 17

Slide 18

Slide 19, 20

Sarcina 4.

Vizualizați conținutul prezentării
"Prezentare"


Cum să rezolvi problemele

pe probabilitate?

Mitrofanova Snezhana Viktorovna,

profesor de matematică

MBOU „Școala Verkhovskaya”

Regiunea Vologda


Probabilitate.Ce este ?

Probabilitate este o funcție care ia valori de la 0 la 1.


Schema aproximativa , care ar trebui utilizat pentru rezolvarea problemelor educaționale standard pentru calcularea probabilității:

Găsiți întrebarea principală a problemei

Se selectează formula (sau mai multe) pentru soluție.


Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să poată răspunde la biletul ales la întâmplare?

Din cele 20 de bilete oferite la examen, studentul poate răspunde doar la 17. Care este probabilitatea ca studentul să nu poată răspunde la biletul ales la întâmplare?


Probabilitate evenimente este raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acestuia și numărul tuturor rezultatelor (incompatibile, singurele posibile și la fel de posibile):






Probleme rezolvate prin construirea unui arbore de probabilități.

Sarcina 1. Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următoarea pistă fără a se întoarce înapoi.Diagrama pistei este prezentată în figură. Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovich să ajungă la punctul G.


Soluţie.

Lângă fiecare margine scriem probabilitatea ca Pavel Ivanovich să meargă pe calea corespunzătoare. Alegerea căii la fiecare bifurcație are loc la întâmplare, astfel încât probabilitatea este împărțită în mod egal între toate posibilitățile.

Fiecare traseu de la punctul de început A la oricare dintre punctele de sfârșit este un eveniment elementar în acest experiment. Evenimentele de aici nu sunt la fel de probabile. Probabilitatea fiecărui eveniment elementar poate fi găsită prin regula înmulțirii.


Acest eveniment constă în faptul că Pavel Ivanovich a trecut de ruta ABG. Probabilitatea se găsește prin înmulțirea probabilităților de-a lungul muchiilor AB și BG

0,5 0,25= 0,125


Sarcina 2.

Pavel Ivanovici face o plimbare din punctul A de-a lungul potecilor din parc. La fiecare bifurcație, el alege aleatoriu următorul drum fără a se întoarce. Diagrama căii este prezentată în figură. Unele trasee duc în satul S , altele - la câmpul F sau la mlaștina M . Găsiți probabilitatea ca Pavel Ivanovici să rătăcească în mlaștină.


Soluţie. Trei trasee duc la mlaștină. Notăm vârfurile de pe aceste rute și scriem probabilitățile corespunzătoare pe marginile de-a lungul acestor rute. Alte rute nu vor fi luate în considerare.

Probabilitatea unui eveniment (Pavel Ivanovich va cădea într-o mlaștină) este egală cu

P(M)=P(ABD)+P(ABE)+P(ACF)





Răspuns: 0,125


Sarcina 4. Două fabrici ale aceleiași firme produc aceleași telefoane mobile.

Prima fabrică produce 30% din toate telefoanele acestui brand, iar a doua - restul telefoanelor.

Se știe că dintre toate telefoanele produse de prima fabrică, 1% au defecte ascunse, iar 1,5% din toate telefoanele fabricate de a doua fabrică.

Găsiți probabilitatea ca un telefon de acest brand cumpărat dintr-un magazin să aibă un defect ascuns.


Soluţie. Să introducem notația pentru evenimentele: A 1 = (telefonul este eliberat la prima fabrică), A 2 = (telefonul este eliberat la a doua fabrică), D = (telefonul are un defect ascuns). În funcție de starea problemei, vom face un arbore și vom găsi probabilitățile necesare.

P(D)=0,3 *0,01+0,7 *0,015=0,003+0,0105=0,0135.

„Fluctuația punctului” - Situație intermediară. Mișcarea este amortizată și aperiodică. 5. Oscilații liniare. 7. Vibrații libere cu rezistență la vâscos. Soluție generală \u003d soluție generală + soluție particulară a y-i omogen a y-i neomogen. 1. Exemple de oscilații. Forță motrice armonică. Vibrații libere cauzate de o forță motrice.

„Derivata funcției într-un punct” - Care este valoarea derivatei funcției y \u003d f (x) în punctul B? Figura prezintă un grafic al derivatei y= f‘(x) a funcției f(x) definită pe intervalul (-3;3). Ce valoare ia derivata functiilor y= f(x) in punctul A? Ce unghi formează tangenta la graficul funcției cu direcția pozitivă a axei x?

„Punctele critice ale funcției” – Printre punctele critice se numără puncte extreme. O condiție necesară pentru un extremum. Puncte critice ale funcției Puncte extreme. Definiție. Puncte extreme (repetiție). Dar, dacă f "(x0) = 0, atunci nu este necesar ca punctul x0 să fie un punct extremum. Exemple. Puncte critice.

„Coordonatele punctului” - Simetria punctului în jurul axei absciselor (Ox). Corpul șopârlei este simetric față de o linie dreaptă. Corpul uman are o axă de simetrie. În natură, structura corpului animalelor respectă și legile simetriei. Punctul B (3; 6) este simetric cu punctul B (3; - 6), situat sub axa x. Concluzie: Semirichnik este o plantă rară, dar cele șapte petale ale florii au simetrie bilaterală.

„Parcuri naționale din Africa de Sud” - „Călătorie în Republica Africa de Sud”. În apropiere se află celebra cascadă Tugela (948 m) cu cinci cascade. A treia zi Parcuri și rezervații naționale. Prima zi Capitala Africii de Sud. Costul camerelor de hotel începe de la 400 USD. Un curcubeu strălucește într-un nor de praf de apă care se ridică la 100 de metri.

„Patru puncte remarcabile ale triunghiului” - Se numește perpendiculara căzută de la vârful triunghiului la linia care conține latura opusă. Înălţime. Mediana unui triunghi. Problema numărul 1. Înălțimea triunghiului. Segmentul AN este o perpendiculară căzută de la punctul A la linia a, dacă. Se numește un segment de linie care leagă un vârf de punctul de mijloc al laturii opuse.

 

Ar putea fi util să citiți: