Acțiune de grup pe un set. Cursuri ale grupului de simetrii ale poliedrelor regulate Acțiuni ale grupului pe platou

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă despre acele rezumate bune, teste, lucrări, teze, articole și alte documente care nu sunt revendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, trebuie să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-vă la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, în câmpul de mai jos, introduceți un număr din cinci cifre și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

    Dezvoltarea unui concept abstract modern de grupuri. Cele mai simple proprietăți ale grupurilor nilpotente finite. Subgrupul Frattini al unui grup finit este nilpotent. Găsirea produsului direct al grupărilor nilpotente. Operație algebrică binară pe o mulțime.

    lucrare de termen, adăugată 21.09.2013

    Aplicarea lemei lui Burnside la rezolvarea problemelor combinatorii. Orbitele grupului de permutare. Lungimea orbitei unui grup de permutare. Lema lui Burnside. Probleme combinatorii. „Metoda de screening”. Formula de includere și excludere.

    teză, adăugată 14.06.2007

    Solvabilitatea unui grup factorizabil cu factori descompunebili. Proprietăți ale grupurilor finite care sunt produsul a două grupuri, dintre care unul este un grup Schmidt, celălalt este 2-descomposabil. Produsul grupelor biprimare și 2-descompuse. Demonstrații de teoreme și leme.

    lucrare de termen, adăugată 22.09.2009

    Esența teoriei grupurilor. Rolul acestui concept în matematică. Forma multiplicativă a operațiunilor de înregistrare, exemple de grupuri. Formularea esenței subgrupului. Homomorfisme de grup. Grupuri matrice liniare complete și speciale. Grupuri clasice de dimensiuni mici.

    lucrare de termen, adăugată 03.06.2014

    Exponentiarea unui numar complex. Operație algebrică binară. Interpretarea geometrică a numerelor complexe. Baza, rangul și combinațiile liniare pentru un sistem de vectori. Rădăcini multiple ale unui polinom. Descompunerea unui polinom în fracții elementare.

    test, adaugat 25.03.2014

    Primele mențiuni despre poliedre regulate. Clasificarea poliedrelor, tipurile lor, proprietăți, teoreme privind desfășurarea poliedrelor convexe (Cauchy și Aleksandrov). Crearea de modele de poliedre regulate folosind metode de desfășurare și origami.

    document de termen adăugat 18.01.2011

    Conceptul de simetrii axiale reflectorizante și rotaționale în geometria euclidiană și în științele naturii. Exemple de simetrie axială sunt fluturele, fulgul de nea, Turnul Eiffel, palatele, frunza de urzică. Reflexie speculară, simetrie radială, axială și rază.

    prezentare adaugata 17.12.2013

Un grup G acționează (în stânga) asupra unei mulțimi X dacă un element gx X este definit pentru orice elemente g și x X și g2 (g1x) = (g2 g1) x și ex = x pentru toate x X, g1, g2 G. Setul

Gx = (gx | g G)

se numește orbita elementului x. Orbitele oricăror două elemente ale lui X fie coincid, fie nu se intersectează, astfel încât mulțimea X este împărțită în orbite disjunse. Dacă există o orbită - întreaga mulțime X, atunci se spune că C acționează tranzitiv pe X. Cu alte cuvinte, grupul G acționează tranzitiv asupra mulțimii X dacă, pentru oricare două elemente x, x 'din X, există o elementul g din G astfel încât gx = x ".

Stabilizatorul unui element x din X este un subgrup

StG (x) = (g G | gx = x).

Mulțimea punctelor fixe ale unui element g din G este mulțimea

Fixați (g) = (x X | gx = x).

Cardinalitatea orbitei este egală cu indicele stabilizatorului din grupa G.

Fie K un cub fix în spațiul euclidian tridimensional, G să fie grupul tuturor mișcărilor acestui spațiu, păstrând orientarea și luând K la K. Grupul G are o mișcare identică, rotații cu 120 ° și 240 ° aproximativ patru axele care trec prin cubul vârfuri opuse, rotație de 180 ° în jurul axelor care trec prin punctele medii ale muchiilor opuse și rotație de 90 °, 180 ° și 270 ° în jurul axelor care trec prin centrele muchiilor opuse. Deci, am găsit 24 de elemente în grupul G. Să arătăm că nu există alte elemente în G. Grupul G acționează tranzitiv asupra mulțimii K0 de vârfuri ale cubului K, deoarece oricare două vârfuri din K pot fi „legate printr-un lanț de vecini”, iar cele adiacente pot fi transformate unul în celălalt printr-o rotație adecvată. Stabilizatorul de vârf x trebuie, de asemenea, să mențină la loc vârful x „cel mai îndepărtat de acesta. Prin urmare, constă din mișcare și rotații identice în jurul axei xx” cu 120 ° și 240 °. Prin urmare, | G | = | К ° | * || = 8 * 3 = 24 și, prin urmare, toate rotațiile de mai sus constituie un grup G.

Grupul G se numește grupul de rotație al cubului. Să demonstrăm că Rotațiile din G permută cele mai lungi patru diagonale ale cubului. Apare un homomorfism: q: G>. Miezul acestui homomorfism este (e), deoarece numai mișcarea identică lasă fiecare diagonală a cubului pe loc. Prin urmare, G este izomorf la un subgrup al grupului. Comparând ordinele acestor grupuri, vedem că G.

Grupuri de simetrie

Unul dintre cele mai frecvent utilizate exemple de grupuri și, în special, grupuri de permutare, sunt grupurile care „măsoară” simetria figurilor geometrice, atât plane, cât și spațiale.

Grupul de simetrie al unui tetraedru.

Tetraedrul (Fig. 1) are 4 axe de simetrie l1, l2, l3, l4 de ordinul 3, trecând prin vârfurile sale 1, 2, 3, 4 și centrele fețelor opuse. În jurul fiecărei axe, pe lângă cea identică, sunt posibile încă două rotații. Ele corespund următoarelor permutări:

în jurul axei l1

în jurul axei l2

în jurul axei l3

în jurul axei l4

În plus, există 3 axe de simetrie de ordinul 2, care trec prin punctele medii A, B, C, D, E, F ale muchiilor de încrucișare. Prin urmare, există încă 3 transformări neidentice (în funcție de numărul de perechi de muchii care se încrucișează), care corespund permutărilor:

în jurul axei AB,

în jurul axei CD,

în jurul axei EF.

Deci, împreună cu transformarea identității, obținem 12 permutări. Cu aceste transformări, tetraedrul se auto-aliniază, întorcându-se în spațiu; în acest caz, punctele sale nu își schimbă poziția unul față de celălalt. Setul de 12 permutări scrise este închis în ceea ce privește înmulțirea, deoarece execuția secvențială a rotațiilor tetraedrului va fi din nou o rotație. Astfel, obținem un grup, care se numește grupul de rotații al tetraedrului.

Cu alte transformări ale spațiului, care sunt auto-alinieri ale tetraedrului, punctele interne ale tetraedrului se mișcă unul față de celălalt. Și anume: tetraedrul are 6 planuri de simetrie, fiecare trecând prin una dintre marginile sale și mijlocul muchiei opuse. Simetriile față de aceste planuri corespund următoarelor transpoziții pe mulțimea de vârfuri ale tetraedrului:

Deja pe baza acestor date, se poate argumenta că grupul tuturor simetriilor posibile ale tetraedrului este format din 24 de transformări. Într-adevăr, fiecare simetrie, auto-aliniind tetraedrul ca întreg, trebuie să-și rearanjeze cumva vârfurile, muchiile și fețele. În special, în acest caz, simetriile pot fi caracterizate prin permutări ale vârfurilor tetraedrului. Deoarece un tetraedru are 4 vârfuri, grupul său de simetrie nu poate consta din mai mult de 24 de transformări. Cu alte cuvinte, fie coincide cu grupul simetric S4, fie este un subgrup al acestuia. Simetriile tetraedrului în raport cu planurile descrise mai sus determină toate transpozițiile posibile pe mulțimea vârfurilor sale. Deoarece aceste transpoziții generează grupul simetric S4, obținem ceea ce este necesar. Astfel, orice permutare a vârfurilor unui tetraedru este determinată de o parte din simetria acestuia. Cu toate acestea, nu același lucru se poate spune despre o permutare arbitrară a marginilor tetraedrului. Dacă suntem de acord să desemnăm fiecare margine a tetraedrului cu aceeași literă cu punctul său de mijloc, atunci, să zicem, permutările de pe setul de muchii

corespund, respectiv, două rotații în jurul axei l1 și unei rotații în jurul axei AB. Scriind permutațiile pe mulțime (A, B. C, D, E, F) pentru toate transformările de simetrie, obținem un anumit subgrup al grupului simetric S6, format din 24 de permutări. Grupul de permutări ale vârfurilor tetraedrului și grupul de permutări ale muchiilor acestuia - grupuri diferite permutări deoarece acţionează asupra unor seturi diferite. Dar în spatele lor este „vizibil” unul și același grup – grupul de transformări spațiale care lasă tetraedrul pe loc.

Grupul de simetrie al unui cub. Simetriile unui cub, precum cele ale unui tetraedru, sunt împărțite în două tipuri - auto-aliniere, în care punctele cubului nu își schimbă poziția unul față de celălalt și transformări care lasă cubul ca întreg pe loc, dar mișcați punctele unul față de celălalt. Transformările de primul tip vor fi numite rotații. Toate rotațiile formează un grup numit grup de rotație cub.

Există exact 24 de rotații ale cubului în jurul diferitelor axe de simetrie.

Într-adevăr, atunci când cubul este rotit, oricare dintre cele 6 fețe ale cubului poate lua locul feței inferioare (Fig. 2). Pentru fiecare dintre cele 6 posibilități - când este indicată ce față se află în partea de jos - există 4 poziții diferite ale cubului, corespunzătoare rotațiilor acestuia în jurul unei axe care trece prin centrele fețelor superioare și inferioare, la unghiurile 0, p / 2, p, Zp / 2. Astfel, obținem 6Х4 = 24 de rotații de cub. Să le indicăm în mod explicit.

Cubul are un centru de simetrie (punctul de intersecție al diagonalelor sale), 3 axe de simetrie de ordinul al patrulea, 4 axe de simetrie de ordinul al treilea și 6 axe de simetrie de ordinul al doilea. Este suficient să luăm în considerare rotațiile în jurul axelor de simetrie.

a) Axele de simetrie de ordinul al patrulea sunt axele care trec prin centrele fețelor opuse. În jurul fiecăreia dintre aceste axe există trei rotații neidentice, și anume rotații prin unghiurile p / 2, p, 3p / 2. Aceste rotații corespund la 9 permutări ale vârfurilor cubului, în care vârfurile fețelor opuse sunt permutate ciclic și consistent. De exemplu, permutările

corespund rotațiilor în jurul axei

b) Axele de simetrie de ordinul trei sunt diagonalele cubului. În jurul fiecăreia dintre cele patru diagonale,,, există două rotații neidentice la unghiurile 2p / 3, 4p / 3. De exemplu, rotațiile în jurul diagonalei determină următoarele permutări ale vârfurilor cubului:

În total, obținem 8 astfel de rotații.

c) Axele de simetrie de ordinul doi vor fi drepte care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale cubului. Există șase perechi de muchii opuse (de exemplu,,), fiecare pereche definește o axă de simetrie, adică obținem 6 axe de simetrie de ordinul doi. Există o rotație neidentică în jurul fiecăreia dintre aceste axe. Doar 6 rotiri. Împreună cu transformarea identității, obținem 9 + 8 + 6 + 1 = 24 de rotații diferite. Toate rotațiile cubului sunt indicate. Rotațiile unui cub definesc permutările pe seturile vârfurilor, muchiilor, fețelor și diagonalelor sale. Luați în considerare modul în care grupul de rotație al unui cub acționează asupra mulțimii diagonalelor sale. Rotații diferite ale cubului permută diagonalele cubului în moduri diferite, adică corespund unor permutări diferite pe setul de diagonale. Prin urmare, grupul de rotație al cubului definește un grup de permutări pe setul de diagonale, format din 24 de permutări. Deoarece cubul are doar 4 diagonale, grupul tuturor acestor permutări coincide cu grupul simetric de pe setul de diagonale. Deci, orice permutare a diagonalelor cubului corespunde unei anumite rotații a acestuia, iar diferite permutări corespund unor rotații diferite.

Să descriem acum întregul grup de simetrie al cubului. Cubul are trei planuri de simetrie care trec prin centru. Simetriile despre aceste planuri, combinate cu toate rotațiile cubului, ne oferă încă 24 de transformări, care sunt auto-alinieri ale cubului. Prin urmare, grupul de simetrie completă al cubului este format din 48 de transformări.

Grupul de simetrie al octaedrului. Octahedrodină din cinci poliedre regulate. Se poate obține prin conectarea centrelor fețelor cubului și luând în considerare corpul, delimitat de planuri, care sunt determinate prin linii de legătură pentru fețele adiacente (Fig. 3). Prin urmare, orice simetrie a cubului este în același timp simetria octaedrului și invers. Astfel, grupul de simetrie al octaedrului este același cu grupul de simetrie al cubului și constă din 48 de transformări.

Grupul de simetrie al unui politop obișnuit constă din transformări de 2l, unde l este numărul unghiurilor sale plate. Această afirmație este valabilă pentru toți politopii obișnuiți, poate fi demonstrată în vedere generala fără a găsi toate simetriile poliedrelor.

Fie G un grup, X o mulțime și f: G × X → X

- afișaj. Notăm f (g, x) cu gx. Spunem că o acțiune a lui G asupra X este dată (sau G acționează asupra lui X) dacă (gh) x = g (hx) și ex = x pentru toate g, h G, x X. În acest caz, mulțimea X este numit G-set.

Cometariu. Mai precis, deci acțiune specifică numit stânga. Sub acțiunea corectă se consideră o mapare f: X × G → X, se introduce notația f (x, g) = xg și sunt necesare următoarele condiții: x (gh) = (xg) h și xe = x . Este clar că tot ceea ce se spune mai jos despre acțiunea din stânga este valabil și pentru acțiunea din dreapta (cu modificările corespunzătoare). Mai mult, rețineți că formula xg = g − 1 x stabilește o corespondență unu-la-unu între acțiunile din stânga și din dreapta ale lui G pe X (adică, aproximativ vorbind, acțiunile din stânga și din dreapta ale grupurilor sunt „una și aceeași”. ”). Acțiunea corectă va apărea în mod natural în capitolul 10.

O submulțime Y X este numită submulțime G dacă GY Y (adică gy Y pentru toate g G, y Y).

O submulțime a unui G-mulțime X de forma O (x) = (gx | g G) se numește orbita unui element x X. Orbitele coincid cu G-subseturile minime ale lui X. Relația „se află într-o singură. orbita” este o relație de echivalență pe X, prin urmare orbitele formează o partiție a mulțimii X.

Pentru un fix x X, elementele g G astfel încât gx = x formează un subgrup de G, care se numește stabil

lizator (sau subgrup staționar ) a elementului x și se notează cu St (x).

Orbitele și stabilizatorii sunt legați după cum urmează:

Propozitia 7.1 | O (x) | = pentru orice x X.

Exemplu. Fie X = G și G să acționeze asupra lui X prin conjugare, adică (g, x) 7 → gxg − 1. Se numește orbita cu această acțiune

clasa conjugată , iar stabilizatorul St (x) - centralizator elementul x (notație - C G (x)). Evident, C G (x) = (a G | ax = xa). Mai mult, dacă grupul G este finit, atunci

CG (x)

unde, la însumarea x, trece prin mulțimea de reprezentanți ai claselor de elemente conjugate (adică se ia câte un element din fiecare clasă).

Folosind această acțiune, se dovedește

Teorema 7.2 (teorema lui Cauchy) Dacă ordinea unui grup G este divizibil cu un număr prim p, atunci G are un element de ordin p.

7 .1. Stabiliți echivalența următoarelor două definiții ale acțiunii unui grup G asupra unei mulțimi X:

1) Acțiunea lui G asupra X este o mapare G × X → X, (g, x) 7 → gx astfel încât (g 1 g2) x = g1 (g2 x) și ex = x pentru toate g1, g2 G, x X.

2) Acțiunea lui G asupra X este un homomorfism G → S (X) (unde S (X)

– grupul tuturor bijecțiilor lui X asupra lui însuși).

7 .2. Demonstrați că dacă O (x) = O (y) atunci St (x) este conjugat cu St (y). Este adevărat opusul?

7 .3. Descrieți orbitele și stabilizatorii pentru următoarele acțiuni:

1) Acțiunea lui G asupra lui însuși prin deplasări la stânga (adică (g, x) 7 → gx);

2) Acțiunea lui G asupra lui însuși prin deplasări la dreapta (adică (g, x) 7 → xg−1 );

3) Acțiunea lui H pe G prin deplasări la stânga (respectiv la dreapta), unde H< G;

x X St (x).

4) Acțiunea lui G prin conjugări asupra mulțimii subgrupurilor sale (adică (g, H) 7 → gHg−1 );

5) Acțiunea lui G asupra mulțimii claselor drepte G / H, unde H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Acțiunea naturală a grupului G = GL (V) de operatori liniari nedegenerați într-un spațiu liniar V asupra: a) V, b) V × V, c) mulțimea tuturor subspațiilor liniare din V;

7) Acțiunea naturală a grupului G = O (V) de operatori liniari ortogonali în spațiul euclidian V asupra: a) V, b)

8) G = hσi este un subgrup ciclic în S n, X = (1, 2,..., n).

7 .4 * Un izomorfism al acțiunilor unui grup G asupra mulțimilor X și Y este o bijecție f: X → Y astfel încât f (gx) = gf (x) pentru toate g G, x X. O acțiune a lui G asupra X se numește tranzitiv dacă pentru toate x, y X există g G astfel încât y = gx (adică, X

Este singura orbită a acestei acțiuni). Demonstrați că fiecare acțiune tranzitivă a lui G asupra X este izomorfă față de o acțiune asupra G / H pentru un subgrup adecvat H. Când sunt acțiunile lui G asupra G / H1 și G / H2 izomorfe?

7 .5. Aflați grupul de automorfisme ale acțiunii naturale a grupului G asupra mulțimii G / H.

7 .6. Demonstrați că ordinele claselor de conjugație ale unui grup finit împart ordinea acestuia.

7 .7 * Demonstrați că centrul unui p-grup finit este netrivial.

7 .8 * Demonstrați că dacă |G | = p2, atunci G este abelian (adică G este izomorf cu Z (p2) sau Z (p) × Z (p)).

7 .9 * Demonstrați că dacă G este non-abelian și |G | = p3, atunci | C (G) | = p.

7 .10. Miezul acțiunii lui G asupra X este nucleul homomorfismului corespunzător G → S (X).

a) Verificați dacă nucleul acțiunii lui G pe X este egal cu b) Aflați nucleul acțiunii lui G pe G / H, unde H< G.

7 .11 * Fie H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.

Grupuri de simetrie ale politopilor regulați

Puneți O (3): = (A GL (3, R) | La A = E), SO (3): = O (3) ∩

SL (3, R). Fie M R3. Grupul de rotație M este

Grot (M) = (g SO (3) | gM = M);

grupul de simetrie M este

Gsym (M) = (g O (3) | gM = M)

(adică Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO (3)).

7 .12. Demonstrați că O (3) SO (3) × Z (2).

7 .13 * Găsiți |Grot (M) | și | Gsym (M) | pentru fiecare dintre poliedrele regulate (tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru). În continuare, se presupune că M este încorporat în R3 astfel încât centrul său să coincidă cu originea.

7 .16 * Fie M un cub sau octaedru. Demonstrați că Grot (M) S4.

7 .17 * Fie M un icosaedru sau dodecaedru. Demonstrează asta

Grot (M) A5.

 

Ar putea fi util să citiți: