Sistem de așteptare cu coadă limitată. Smoo pe un singur canal cu coadă nelimitată. Comandă de lucru

Sistem de așteptare multicanal cu coadă limitată

Lăsați intrarea unui QS cu canale de servicii să primească Fluxul Poisson aplicatii cu intensitate. Intensitatea deservirii cererii de către fiecare canal este egală, iar numărul maxim de locuri în coadă este egal.

Graficul unui astfel de sistem este prezentat în Figura 7.

Figura 7 - Graficul stărilor unui QS multicanal cu o coadă limitată

Toate canalele sunt gratuite, nu există coadă;

ocupat l canale ( l= 1, n), nu există coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, există o coadă i aplicatii ( i= 1, m).

Compararea graficelor din Figura 2 și Figura 7 arată că acest din urmă sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces, dacă în el se fac următoarele substituții (notațiile din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):

Expresiile pentru probabilitățile finale sunt ușor de găsit din formulele (4) și (5). Ca rezultat, obținem:

Formarea unei cozi are loc atunci când, în momentul primirii următoarei solicitări în QS, toate canalele sunt ocupate, adică. există fie n, fie (n+1),…, fie (n + m - 1) clienți în sistem. pentru că aceste evenimente sunt incompatibile, atunci probabilitatea formării unei cozi p och este egală cu suma probabilităților corespunzătoare:

O solicitare este refuzată atunci când toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, adică:

Relativ debitului este egal cu:

Numărul mediu de aplicații din coadă este determinat de formula (11) și poate fi scris astfel:

Numărul mediu de cereri servite în QS poate fi scris astfel:

Numărul mediu de aplicații în CMO:

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).

Sistem de așteptare multicanal cu coadă nelimitată

Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 8 și este obținut din graficul din Figura 7 cu.

Figura 8 - Graficul stărilor unui QS multicanal cu coadă nelimitată

Formulele pentru probabilitățile finale pot fi obținute din formulele pentru QS cu n canale cu o coadă mărginită la. Trebuie avut în vedere că atunci când probabilitatea p 0 = p 1 =…= p n = 0, i.e. coada crește la nesfârșit. Prin urmare, acest caz nu prezintă interes practic și doar cazul este considerat mai jos. Când de la (26) obținem:

Formulele pentru probabilitățile rămase au aceeași formă ca și pentru QS cu o coadă limitată:

Din (27) obținem o expresie pentru probabilitatea formării unei cozi de aplicații:

Deoarece coada nu este limitată, probabilitatea refuzului de a deservi cererea este:

Lățimea de bandă absolută:

Din formula (28) la , obținem o expresie pentru numărul mediu de cereri din coadă:

Numărul mediu de cereri deservite este determinat de formula:

Timpul mediu de rezidență în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).

Sistem de așteptare multicanal cu coadă limitată și timp de așteptare limitat în coadă

Diferența dintre un astfel de QS și QS luat în considerare în Secțiunea 5.5 este că timpul de așteptare pentru serviciu atunci când aplicația este în coadă este considerat a fi o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi exponențiale cu parametrul, unde este timpul mediu de așteptare a aplicației în coadă și - are sens intensitatea fluxului de cereri care părăsesc coada. Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 9.

Figura 9 - Graficul unui QS multicanal cu o coadă limitată și un timp de așteptare limitat în coadă

Desemnările rămase aici au același sens ca în subsecțiune.

Compararea graficelor din fig. 3 și 9 arată că acest din urmă sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces dacă în el se fac următoarele substituții (notația din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):

Expresiile pentru probabilitățile finale sunt ușor de găsit din formulele (4) și (5) ținând cont de (29). Ca rezultat, obținem:

Unde. Probabilitatea de a forma o coadă este determinată de formula:

Refuzul de a deservi o aplicație are loc atunci când toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, de exemplu. probabilitatea de refuzare a serviciului:

Debit relativ:

Lățimea de bandă absolută:

Numărul mediu de aplicații din coadă se găsește prin formula (11) și este egal cu:

Numărul mediu de cereri deservite în QS este găsit prin formula (10) și este egal cu:

Scopul serviciului QS. Calculatorul online este conceput pentru a calcula următorii indicatori QS cu un singur canal:

probabilitatea de defecțiune a canalului, probabilitatea canalului liber, debitul absolut;
debit relativ, timpul mediu de serviciu, timpul mediu de inactivitate a canalului.

Instruire. Pentru a rezolva astfel de probleme în modul online selectați modelul QS. Specifica intensitatea debitului de aplicare λȘi intensitatea debitului de serviciu μ. Pentru un QS cu un singur canal cu o lungime limitată la coadă, puteți specifica lungimea cozii m, iar pentru un QS cu un singur canal cu o coadă nelimitată - numărul de cereri din coadă (pentru a calcula probabilitatea de a găsi aceste solicitări în coadă). vezi exemplu de solutie. . Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Clasificarea sistemelor de așteptare cu un singur canal

Exemplul #1. Auto Benzinărie Are unu benzinărie. Se presupune că cel mai simplu flux de vagoane ajunge în stație cu o intensitate de λ=11 vagoane/h. Timpul de serviciu al aplicației este o variabilă aleatorie care respectă o lege exponențială cu parametrul μ=14 vehicule/h. Determinați numărul mediu de mașini din stație.

Exemplul #2. Există un punct pentru inspecția preventivă a mașinilor cu un grup de inspecție. Este nevoie de o medie de 0,4 ore pentru a inspecta și identifica defectele pentru fiecare mașină. În medie, 328 de mașini pe zi sunt primite pentru inspecție. Fluxurile de cereri și servicii sunt cele mai simple. Dacă mașina care a ajuns la punctul de control nu găsește un singur canal liber, lasă punctul de control neservit. Determinați probabilitățile limitative ale stărilor și caracteristicile de întreținere a punctului de control preventiv.
Soluţie. Aici α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Aceste date trebuie introduse în calculator.

ÎN activitati comerciale mai frecvent QS cu așteptare (coadă).

Luați în considerare un QS simplu cu un singur canal cu o coadă limitată, în care numărul de locuri din coada m este o valoare fixă. În consecință, o aplicație care sosește în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate nu este acceptată pentru service, nu intră în coadă și părăsește sistemul.

Graficul acestui QS este prezentat în Fig. 3.4 și coincide cu graficul din fig. 2.1 descriind procesul „naștere – moarte”, cu diferența că în prezența unui singur canal.

Graficul etichetat al procesului de „naștere – moarte” a serviciului, toate intensitățile fluxurilor de servicii sunt egale

Stările QS pot fi reprezentate după cum urmează:

S0 - canalul de servicii este gratuit,

S, - canalul de servicii este ocupat, dar nu există coadă,

S2 - canalul de serviciu este ocupat, există o solicitare în coadă,

S3 - canalul de servicii este ocupat, există două solicitări în coadă,

Sm+1 - canalul de serviciu este ocupat, toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, orice cerere următoare este respinsă.

Pentru a descrie procesul aleatoriu al QS, se pot folosi regulile și formulele menționate anterior. Să scriem expresiile care definesc probabilitățile limită ale stărilor:

Expresia pentru p0 poate fi scrisă în acest caz într-un mod mai simplu, folosind faptul că numitorul este o progresie geometrică față de p, apoi după transformările corespunzătoare obținem:

c= (1-s)

Această formulă este valabilă pentru toate p, altele decât 1, dar dacă p = 1, atunci p0 = 1/(m + 2), iar toate celelalte probabilități sunt, de asemenea, egale cu 1/(m + 2).

Dacă presupunem m = 0, atunci trecem de la considerarea unui QS cu un singur canal cu așteptare la QS deja considerat un canal cu refuzuri de serviciu.

Într-adevăr, expresia probabilității marginale p0 în cazul m = 0 are forma:

po \u003d m / (l + m)

Și în cazul lui l \u003d m, are valoarea p0 \u003d 1 / 2.

Să definim principalele caracteristici ale unui QS cu un singur canal cu așteptare: debitul relativ și absolut, probabilitatea de eșec, precum și lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.

Aplicația este respinsă dacă ajunge în momentul în care QS-ul este deja în starea Sm + 1 și, prin urmare, toate locurile din coadă sunt ocupate și un canal servește

Prin urmare, probabilitatea de defecțiune este determinată de probabilitatea de apariție

Sm+1 afirmă:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

Debitul relativ, sau proporția de cereri deservite care sosesc pe unitatea de timp, este determinată de expresie

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

lățimea de bandă absolută este:

Numărul mediu de aplicații L aflate în coada de servicii este determinat de așteptarea matematică a variabilei aleatoare k - numărul de aplicații aflate în coadă

variabila aleatoare k ia doar următoarele valori întregi:

1 - există o aplicație în coadă,
2 - există două aplicații în coadă,

t-toate locurile din coadă sunt ocupate

Probabilitățile acestor valori sunt determinate de probabilitățile de stare corespunzătoare, începând de la starea S2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete k este descrisă după cum urmează:

Tabelul 1. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare sunt:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

ÎN caz general pentru p = 1, această sumă poate fi transformată folosind modele de progresie geometrică într-o formă mai convenabilă:

Loch = p2 * 1-pm * (l-m*p+1)*p0

În cazul particular la p = 1, când toate probabilitățile pk se dovedesc a fi egale, se poate folosi expresia pentru suma termenilor seriei numerice

1+2+3+ m = m(m+1)

Apoi obținem formula

L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Aplicând raționamente și transformări similare, se poate demonstra că timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei cereri și a unei coade este determinat de formulele lui Little.

Punctul \u003d Loch / A (la p? 1) și T1och \u003d L "och / A (la p \u003d 1).

Un astfel de rezultat, atunci când se dovedește că Tox ~ 1/l, poate părea ciudat: odată cu creșterea intensității fluxului de cereri, se pare că lungimea cozii ar trebui să crească, iar timpul mediu de așteptare să scadă. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, în primul rând, valoarea lui Loch este o funcție a lui l și m și, în al doilea rând, QS-ul luat în considerare are o lungime limitată a cozii de cel mult m aplicații.

O solicitare care ajunge la QS într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este respinsă și, prin urmare, timpul său de „așteptare” în QS este zero. Acest lucru duce în cazul general (pentru p? 1) la o scădere a lui Tochrost l, deoarece proporția acestor aplicații crește odată cu creșterea lui l.

Dacă renunțăm la restricția privind lungimea cozii, i.e. aspira m--> >?, apoi cazuri p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Pentru k suficient de mare, probabilitatea pk tinde spre zero. Prin urmare, debitul relativ va fi Q = 1, iar debitul absolut va fi egal cu A - l Q - l, prin urmare, toate cererile primite sunt deservite, iar lungimea medie a cozii va fi egală cu:

Loch = p2 1-p

și timpul mediu de așteptare conform formulei lui Little

Punct \u003d Loch / A

În limita p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Prin urmare, probabilitățile limită ale stărilor nu pot fi determinate: pentru Q= 1 ele sunt egale cu zero. De fapt, CMO nu își îndeplinește funcțiile, deoarece nu este capabil să deservească toate aplicațiile primite.

Este ușor de determinat că ponderea cererilor deservite și, respectiv, debitul absolut, medie c și m, cu toate acestea, o creștere nelimitată a cozii și, în consecință, timpul de așteptare în ea, duce la faptul că, după un timp , cererile încep să se acumuleze în coadă pentru un timp nelimitat.

Ca una dintre caracteristicile QS, se folosește timpul mediu Tsmo al șederii unei aplicații în QS, inclusiv timpul mediu petrecut în coadă și timpul mediu de service. Această valoare este calculată prin formulele lui Little: dacă lungimea cozii este limitată, numărul mediu de aplicații din coadă este egal cu:

Lmo= m+1;2

tsmo= Lcmo; la p?1

A apoi timpul mediu de rezidență al cererii în sistem la coadă(atât în coadă, cât și în serviciu) este egal cu:

tsmo= m+1 la p ?1 2m

Calculele principalelor indicatori ai funcționării unui sistem cu n canale de servicii, cu locuri limitate în coadă, sunt efectuate în mod similar cu cele care au fost făcute pentru un sistem cu o coadă nelimitată. O caracteristică a funcționării sistemelor cu o limitare a lungimii cozii este numărul finit de stări ale sistemului.

Lăsați canalele de servicii să primească cel mai simplu flux de cerințe cu intensitatea λ . Fluxul de serviciu care vine de la un canal este, de asemenea, cel mai simplu și are intensitatea μ. Numărul de locuri în coadă este limitat și egal cu T.

Prin numărul de solicitări din sistem, notăm stările sistemului:

S0- stare inactiv;

S p- starea sistemului când toate canalele sunt ocupate cu service;

S p+1 - toate canalele sunt ocupate, o cerere este în coadă;

S p+t - coadă T aplicatii.

Deoarece fluxurile de cereri și servicii sunt obișnuite, graficul de stat este reprezentat ca o schemă de deces și reproducere. Diferența față de o schemă similară pentru o coadă nelimitată este doar că numărul de stări este finit. Graficul de stare al unui astfel de sistem este reprezentat sub formă de diagramă în Figura 7:

λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S n S n+m

μ 2μ 3μ ………. nμ nμ …… nμ

Figura 7: QS multicanal cu coadă limitată.

Să compunem un sistem de ecuații algebrice pentru găsirea probabilităților finale ale stărilor:

Unde ajungem Formule Erlang pentru un sistem multicanal cu coadă limitată:

Cele mai recente T termenii din paranteze sunt suma T primii termeni ai progresiei geometrice cu numitorul ρ/n care este egal cu:

Astfel, pentru a calcula p 0 obținem formula:

Formulele pentru probabilitățile stărilor limită vor arăta astfel:

Iată formulele de calcul a principalilor indicatori de performanță ai sistemului.

Numărul de canale care necesar pentru ca sistemul să facă față fluxului de aplicații, determinăm din condiție

În acest caz, relația ρ< 1.

Probabilitatea de refuzare a serviciului Definim cererile ca fiind probabilitatea ca atunci când o solicitare intră în sistem, toate cele n canale să fie ocupate și toate cele m locuri din coadă să fie ocupate:

De aici probabilitatea de serviciu(precum și debit relativ sisteme) sunt egale cu probabilitățile evenimentului opus:

Lățimea de bandă absolută - numărul de aplicații deservite de sistem pe unitatea de timp:

Deoarece fiecare canal servește μ cereri pe unitatea de timp, atunci canale medie ocupate se poate calcula:

Timp mediu de serviciu un canal de aplicație :

Numărul mediu de aplicații în coadă:

Numărul mediu de solicitări în serviciu este egal cu numărul mediu de canale ocupate:

Numărul mediu de aplicații în sistem(în service și în coadă) este egal cu:

Un QS multicanal cu o coadă limitată poate fi luat în considerare în Mathcad.

Exemplu:

Site-ul benzinăriei poate găzdui nu mai mult de 3 mașini în același timp, iar dacă este ocupat, atunci următoarea mașină care ajunge la stație nu face coadă. Intensitatea debitului de serviciu λ=0,5 mașini pe minut. Intensitatea debitului de serviciu μ=0,4 mașini pe minut. Determinați toate caracteristicile QS-ului.

Fragment de rezolvare a problemei în Mathcad.

Continuarea problemei în Mathcad.

QS multicanal cu coadă nelimitată

Să luăm în considerare sarcina. Disponibil QS cu canale n cu coadă nelimitată. Fluxul de aplicații care intră în QS are o intensitate l, iar fluxul de servicii are o intensitate m. Este necesar să se găsească probabilitățile limitative ale stărilor QS și indicatorii eficienței acestuia.

Sistemul poate fi în una dintre stările S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., numerotate în funcție de numărul de solicitări din QS: S0 - nu există cereri în sistem ( toate canalele sunt gratuite); S -- un canal este ocupat, restul sunt libere; S2-- două canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sk -- k canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sn -- toate cele n canale sunt ocupate (nu există coadă); Sn+1 -- toate cele n canale sunt ocupate, există o cerere în coadă; Sn+r -- toate cele n canale sunt ocupate, r cereri sunt în coadă.

Graficul de stare al sistemului este prezentat în Figura 7. Să fim atenți la faptul că, spre deosebire de QS-ul precedent, intensitatea fluxului de serviciu (transferând sistemul dintr-o stare în alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă. , dar pe măsură ce numărul de solicitări în QS crește de la 0 la n crește de la m la n??, pe măsură ce numărul canalelor de servicii crește în mod corespunzător. Când numărul de cereri din QS este mai mare decât n, intensitatea fluxului de servicii rămâne egală cu nm.

Figura 7 - Graficul stărilor QS multicanal

Se poate arăta că pentru c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Probabilitatea ca aplicația să fie în coadă,

Pentru un QS n-canal cu o coadă nelimitată, folosind trucurile anterioare, puteți găsi:

canale medie ocupate

numărul mediu de aplicații din sistem

Timpul mediu de rezidență al unei aplicații în coadă și timpul mediu de rezidență al unei aplicații în sistem, ca și anterior, se găsesc folosind formulele mici (48) și (49).

Cometariu. Pentru un QS cu o coadă nelimitată pentru s< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS cu coadă limitată

QS cu o coadă delimitată diferă doar prin aceea că numărul de cereri din coadă este limitat (nu poate depăși un anumit m). Dacă o nouă revendicare sosește în momentul în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS-ul neservit, adică. este respins.