Sarcini din colecția Kuznetsov L.A. Studiu complet al unei funcții și trasarea Y x 2 x 1 investigați o funcție

Rehebnik Kuznetsov.
III Diagrame

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți-i graficul.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Înainte de a începe să descărcați opțiunile, încercați să rezolvați problema conform exemplului dat mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia

Decizie.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Domeniu: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp sau & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, adică & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Astfel: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nu există intersecții cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nu are soluții.
Nu există intersecții cu axa Oy, deoarece & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funcția nu este nici pară, nici impar. Nu există simetrie în legătură cu ordonata. Nici despre origine nu există simetrie. pentru că
.
Vedem că & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp și & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funcția este continuă în domeniu
.

; .

; .
Prin urmare, punctul & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp este un punct de întrerupere de al doilea fel (pauză infinită).

5) Asimptote verticale: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Găsiți asimptota oblică & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Aici

;
.
Prin urmare, avem o asimptotă orizontală: y \u003d 0... Nu există asimptote oblice.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Găsiți prima derivată. Primul derivat:
.
Si de aceea
.
Găsiți puncte staționare în care derivata este zero, adică
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Găsiți a doua derivată. A doua derivată:
.
Și acest lucru este ușor de convins, deoarece

De ceva timp, baza de date încorporată de certificate pentru SSL în TheBat (dintr-un anumit motiv) încetează să mai funcționeze corect.

Când verificați postările, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Cu plăcere
contactați administratorul serverului.

Și există o gamă de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când îți scoți mailul.

Decizie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S / MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în TheBat!

De vreme ce aveam nevoie să combin toate fișierele într-unul singur, am convertit mai întâi toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat), apoi le-am convertit în fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere separat. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg, și chiar arhivă zip!

Numele site-ului corespunde esenței :) Photoshop online.

Actualizare mai 2015

Am găsit un alt site grozav! Și mai convenabil și funcțional pentru crearea unui colaj complet arbitrar! Acest site este http://www.fotor.com/en/collage/. Folosește-l pentru sănătatea ta. Și o voi folosi eu.

Confruntat în viața mea cu repararea unui aragaz electric. Am făcut deja multe, am învățat multe, dar cumva am avut puțin de-a face cu dale. A fost necesar să înlocuiți contactele de pe comenzi și arzătoare. A apărut întrebarea - cum să se determine diametrul arzătorului pe aragazul electric?

Răspunsul a fost simplu. Nu trebuie să măsurați nimic, puteți determina cu ușurință ce dimensiune aveți nevoie.

Cel mai mic arzătoreste de 145 milimetri (14,5 centimetri)

Plita medie este de 180 de milimetri (18 centimetri).

Și în cele din urmă, cel mai mult arzător mare este de 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea cu ochiul și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam, mă avântam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsoară, ce margine să navighez etc. Acum sunt înțelept :) Sper că și eu v-am ajutat!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de sarcină. Cred că nu sunt singurul.

Dacă în problemă este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să se utilizeze proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de cercetare include pași:

Găsirea scopului

Deoarece cercetarea se desfășoară pe domeniul definiției funcției, este necesar să se înceapă de la acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat presupune găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din ODZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Ca urmare, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Apoi, ODV poate fi căutat pentru o rădăcină cu un grad egal de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0, pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x)\u003e 0.

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale pe limitele unei funcții atunci când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, luați în considerare punctele de margine egale cu x \u003d ± 1 2.

Apoi, este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) - 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) 2 \u003d + ∞

De aici se poate vedea că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile drepte x \u003d ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Examinarea unei funcții și pentru paritate pară sau impară

Când condiția y (- x) \u003d y (x) este îndeplinită, funcția este considerată pare. Acest lucru sugerează că graficul este situat simetric față de O y. Când condiția y (- x) \u003d - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impar. Aceasta înseamnă că simetria este relativă la origine. Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, obținem o funcție generală.

Egalitatea y (- x) \u003d y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se ia în considerare faptul că va exista simetrie despre O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se utilizează intervalele de creștere și descreștere cu condițiile f "(x) ≥ 0 și, respectiv, f" (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare- acestea sunt punctele care transformă derivata la zero.

Puncte critice - acestea sunt puncte interioare din domeniu, unde derivata funcției este zero sau nu există.

Atunci când decideți, este necesar să luați în considerare următoarele note:

  • cu intervalele disponibile de creștere și scădere a inegalităților de forma f "(x)\u003e 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
  • punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și descreștere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face funcția definită, derivata are valoarea infinitului în acest punct, y "\u003d 1 3 x 2 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 este inclus în intervalul crescător);
  • pentru a evita controversele, se recomandă utilizarea literaturii matematice recomandate de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și descreștere dacă îndeplinesc domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru pentru determinarea intervalelor de creștere și scădere a funcției, este necesar să se găsească:

  • derivat;
  • puncte critice;
  • împărțiți zona de definiție folosind puncte critice în intervale;
  • determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Găsiți derivata pe domeniul f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Decizie

Pentru a rezolva aveți nevoie de:

  • găsiți puncte staționare, acest exemplu are x \u003d 0;
  • găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x \u003d ± 1 2.

Expunem puncte pe axa numerică pentru a determina derivata la fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să efectuați calculul. Dacă rezultatul este pozitiv, trasăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare linia numerică.

Răspuns:

  • funcția crește pe interval - ∞; - 1 2 și (- 1 2; 0];
  • există o scădere a intervalului [0; 1 2) și 1 2; + ∞.

Pe diagramă, folosind + și - descrie pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care se schimbă semnul derivatului.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu, în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din ea este egală cu f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat un punct maxim. Când semnul se schimbă de la - la +, obținem un punct minim.

Convexitatea și concavitatea sunt determinate prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin frecvent, numele este folosit convexitate în jos în loc de concavitate și convexitate în sus în loc de convexitate.

Definiție 3

Pentru determinarea intervalelor de concavitate și convexitate este necesar:

  • găsiți a doua derivată;
  • găsiți zerourile celei de-a doua funcții derivate;
  • împarte aria de definiție cu punctele apărute în intervale;
  • determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți a doua derivată din domeniu.

Decizie

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde în exemplul nostru avem că zerourile numitorului x \u003d ± 1 2

Acum trebuie să trasați puncte pe axa numerică și să determinați semnul celei de-a doua derivate din fiecare interval. Obținem asta

Răspuns:

  • funcția este convexă din intervalul - 1 2; 12;
  • funcția este concavă din intervalele - ∞; - 1 2 și 1 2; + ∞.

Definiția 4

Punct de inflexiune Este un punct de forma x 0; f (x 0). Când are o tangentă la graficul unei funcții, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul în opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un punct prin care a doua derivată trece și schimbă semnul, iar în punctele în sine este egal cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece a doua derivată schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x \u003d ± 1 2. La rândul lor, acestea nu sunt incluse în sfera definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblicesunt descrise folosind linii drepte definite prin ecuația y \u003d k x + b, unde k \u003d lim x → ∞ f (x) x și b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Pentru k \u003d 0 și b care nu sunt egale cu infinitul, constatăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile către care se apropie graficul funcției la infinit. Acest lucru ajută la trasarea rapidă a funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinități, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

De exemplu, ia în considerare asta

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

este asimptota orizontală. După examinarea funcției, puteți începe să o construiți.

Calculul valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am considerat, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este egală, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să notăm și să rezolvăm:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0.27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0,45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele unei funcții, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se traseze asimptotele. Pentru desemnarea convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare în figura de mai jos.

Este necesar să trasați liniile grafice prin punctele marcate, care vă vor permite să vă apropiați de asimptote urmând săgețile.

Aceasta încheie explorarea completă a funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se aplică transformări geometrice.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

 

Ar putea fi util să citiți: