Acțiune de grup pe un set. Cursul grupului de simetrie al poliedrelor regulate Acțiuni de grup pe platou

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, nu uitați acele rezumate bune, teste, lucrări de termeni, teze, articole și alte documente care nu sunt revendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, trebuie să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, în câmpul de mai jos, introduceți un număr din cinci cifre și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

    Dezvoltarea unui concept abstract modern de grupuri. Cele mai simple proprietăți ale grupurilor finite nilpotente. Subgrupul Frattini al unui grup finit este nilpotent. Găsirea produsului direct al grupurilor nilpotente. Operație algebrică binară pe un set.

    hârtie de termen, adăugată 21.09.2013

    Aplicarea lemei lui Burnside la rezolvarea problemelor combinatorii. Orbitele grupului de permutare. Lungimea orbitei unui grup de permutare. Lema lui Burnside. Probleme combinatorii. „Metoda de cernere”. Formula de includere și excludere.

    teză, adăugată 14.06.2007

    Rezolvabilitatea unui grup factorizabil cu factori descompozabili. Proprietățile grupurilor finite care sunt produsul a două grupuri, dintre care unul este un grup Schmidt, celălalt este 2-descompozibil. Produs al grupurilor biprimare și 2-descompozabile. Dovezi de teoreme și leme.

    hârtie la termen, adăugată 22.09.2009

    Esența teoriei grupurilor. Rolul acestui concept în matematică. Formă multiplicativă a operațiilor de înregistrare, exemple de grupuri. Formularea esenței subgrupului. Omomorfisme de grup. Grupuri de matrice liniare complete și speciale. Grupuri clasice de dimensiuni mici.

    termen de hârtie, adăugat 03/06/2014

    Exponențierea unui număr complex. Operație algebrică binară. Interpretarea geometrică a numerelor complexe. Baza, rangul și combinațiile liniare pentru un sistem de vectori. Rădăcini multiple ale unui polinom. Descompunerea unui polinom în fracții elementare.

    test, adăugat 25.03.2014

    Primele mențiuni ale poliedrelor regulate. Clasificarea poliedrelor, tipurile lor, proprietățile, teoremele de desfășurare a poliedrelor convexe (Cauchy și Aleksandrov). Crearea de modele de poliedre regulate folosind metode de desfășurare și origami.

    termen de hârtie adăugat 18.01.2011

    Conceptul de simetrii axiale reflexive și rotaționale în geometria euclidiană și în științele naturii. Exemple de simetrie axială sunt fluturele, fulgul de zăpadă, Turnul Eiffel, palatele, frunza de urzică. Reflexie speculară, simetrie radială, axială și de raze.

    prezentare adăugată 17.12.2013

Un grup G acționează (în stânga) asupra unui set X dacă un element gx X este definit pentru orice elemente g și х X, în plus, g2 (g1х) \u003d (g2 g1) х și ex \u003d х pentru toate х X, g1, g2 G. Setul

Gx \u003d (gx | g G)

se numește orbita elementului x. Orbitele oricăror două elemente ale lui X coincid ori nu se intersectează, astfel încât mulțimea X este împărțită în orbite disjuncte. Dacă există o orbită - întreaga mulțime X, atunci se spune că C acționează tranzitiv asupra X. Cu alte cuvinte, grupul G acționează tranzitiv asupra mulțimii X dacă pentru oricare două elemente x, x "din X există un element g din G astfel încât gx \u003d x ".

Stabilizatorul unui element x din X este un subgrup

StG (x) \u003d (g G | gx \u003d x).

Mulțimea punctelor fixe ale unui element g din G este mulțimea

Fix (g) \u003d (x X | gx \u003d x).

Cardinalitatea orbitei este egală cu indicele stabilizatorului din grupa G.

Fie K un cub fix în spațiul euclidian tridimensional, G este grupul tuturor mișcărilor acestui spațiu care păstrează orientarea și transferă K către K. Grupul G are o mișcare identică, rotații cu 120 ° și 240 ° în jurul a patru axe care trec prin vârfuri opuse. cub, rotație de 180 ° în jurul axelor care trec prin punctele medii ale muchiilor opuse și rotație de 90 °, 180 ° și 270 ° în jurul axelor care trec prin centrele marginilor opuse. Deci, am găsit 24 de elemente în grupul G. Să arătăm că nu există alte elemente în G. Grupul G acționează tranzitiv asupra setului K0 de vârfuri ale cubului K, deoarece oricare două vârfuri de la K pot fi „conectate printr-un lanț de vecini”, iar cele adiacente pot fi traduse între ele printr-o rotație adecvată. Stabilizatorul vârfului x trebuie, de asemenea, să mențină în loc vârful x "cel mai îndepărtat de acesta. Prin urmare, constă din mișcări și rotații identice în jurul axei xx" cu 120 ° și 240 °. Prin urmare, | G | \u003d | К ° | * || \u003d 8 * 3 \u003d 24 și, prin urmare, toate rotațiile de mai sus constituie un grup G.

Grupul G se numește grupul de rotație al cubului. Să dovedim că Rotațiile de la G transpun cele mai lungi patru diagonale ale cubului. Apare un homomorfism: q: G\u003e. Nucleul acestui homomorfism este (e), deoarece doar mișcarea identică lasă fiecare diagonală a cubului în loc. Prin urmare, G este izomorf pentru un subgrup al grupului. Comparând ordinele acestor grupuri, vedem că G.

Grupuri de simetrie

Unul dintre cele mai utilizate exemple de grupuri și, în special, grupuri de permutare, sunt grupuri care „măsoară” simetria figurilor geometrice, atât plate, cât și spațiale.

Grup de simetrie al unui tetraedru.

Tetraedrul (Fig. 1) are 4 axe de simetrie l1, l2, l3, l4 de ordinul trei, trecând prin vârfurile sale 1, 2, 3, 4 și centrele fețelor opuse. În jurul fiecărei axe, pe lângă cea identică, sunt posibile încă două rotații. Următoarele permutări le corespund:

în jurul axei l1

în jurul axei l2

în jurul axei l3

în jurul axei l4

În plus, există 3 axe de simetrie de ordinul 2, care trec prin punctele medii A, B, C, D, E, F ale muchiilor de trecere. Prin urmare, mai sunt 3 (în funcție de numărul de perechi de margini de trecere) transformări neidentice, care corespund permutațiilor:

în jurul axei AB,

în jurul axei CD,

în jurul axei EF.

Deci, împreună cu transformarea identității, obținem 12 permutări. Sub transformările indicate, tetraedrul se auto-aliniază, rotindu-se în spațiu; în acest caz, punctele sale nu își schimbă poziția una față de cealaltă. Setul de 12 permutări scrise este închis în ceea ce privește multiplicarea, deoarece execuția secvențială a rotațiilor tetraedrului va fi din nou o rotație. Astfel, obținem un grup, care se numește grupul de rotații al tetraedrului.

Sub alte transformări ale spațiului, care sunt auto-alinieri ale tetraedrului, punctele interne ale tetraedrului se deplasează una față de cealaltă. Și anume: tetraedrul are 6 planuri de simetrie, fiecare dintre ele trecând prin una dintre muchiile sale și mijlocul muchiei opuse. Simetriile față de aceste plane corespund următoarelor transpuneri pe setul de vârfuri ale tetraedrului:

Deja pe baza acestor date, se poate argumenta că grupul tuturor simetriilor posibile ale tetraedrului este format din 24 de transformări. Într-adevăr, fiecare simetrie, care se auto-aliniază tetraedrul în ansamblu, trebuie cumva să își rearanjeze vârfurile, marginile și fețele. În special, în acest caz, simetriile pot fi caracterizate prin permutări ale vârfurilor tetraedrului. Deoarece un tetraedru are 4 vârfuri, grupul său de simetrie nu poate consta din mai mult de 24 de transformări. Cu alte cuvinte, fie coincide cu grupul simetric S4, fie este un subgrup al acestuia. Simetriile tetraedrului față de planurile descrise mai sus determină toate transpunerile posibile pe setul vârfurilor sale. Deoarece aceste transpuneri generează grupul simetric S4, obținem ceea ce este necesar. Astfel, orice permutare a vârfurilor unui tetraedru este determinată de o parte din simetria sa. Totuși, același lucru nu se poate spune despre o permutare arbitrară a marginilor tetraedrului. Dacă suntem de acord să denotăm fiecare margine a tetraedrului cu aceeași literă ca și punctul său mijlociu, atunci, să spunem, permutările pe setul de margini

corespund, respectiv, cu două rotații în jurul axei l1 și unei rotații în jurul axei AB. După ce am scris permutările pe set (A, B. C, D, E, F) pentru toate transformările de simetrie, obținem un anumit subgrup al grupului simetric S6, format din 24 de permutări. Grupul permutațiilor vârfurilor unui tetraedru și grupul permutațiilor marginilor sale sunt grupuri diferite de permutații, deoarece acționează pe seturi diferite. Dar în spatele lor, unul și același grup este „vizibil” - grupul de transformări spațiale care lasă tetraedrul în loc.

Grup de simetrie al unui cub. Simetriile unui cub, la fel ca cele ale unui tetraedru, sunt împărțite în două tipuri - auto-alinierea, în care punctele cubului nu își schimbă poziția una față de cealaltă și transformările care lasă cubul ca întreg ca loc, dar își mută punctele unul față de celălalt. Transformările de primul tip se vor numi rotații. Toate rotațiile formează un grup numit grup de rotație a cubului.

Există exact 24 de rotații ale cubului în jurul diferitelor axe de simetrie.

De fapt, atunci când cubul este rotit, oricare dintre cele 6 fețe ale cubului poate lua locul feței de jos (Fig. 2). Pentru fiecare dintre cele 6 posibilități - atunci când este indicat care față se află în partea de jos - există 4 poziții diferite ale cubului, corespunzătoare rotațiilor sale în jurul unei axe care trece prin centrele fețelor superioare și inferioare, la unghiurile 0, p / 2, p, Zp / 2. Astfel, obținem 6Х4 \u003d 24 rotații ale cubului. Să le indicăm în mod explicit.

Cubul are un centru de simetrie (punctul de intersecție al diagonalelor sale), 3 axe de simetrie de ordinul patru, 4 axe de simetrie de ordinul trei și 6 axe de simetrie de ordinul al doilea. Este suficient să se ia în considerare rotațiile în jurul axelor de simetrie.

a) Axele de simetrie de ordinul patru sunt axele care trec prin centrele fețelor opuse. În jurul fiecăreia dintre aceste axe există trei rotații neidentice, și anume rotații prin unghiurile p / 2, p, 3p / 2. Aceste rotații corespund cu 9 permutații ale vârfurilor cubului, în care vârfurile fețelor opuse sunt permutate ciclic și constant. De exemplu, permutări

corespund rotațiilor din jurul axei

b) Axele de simetrie de ordinul al treilea sunt diagonalele cubului. În jurul fiecăreia dintre cele patru diagonale ,,, există două rotații neidentice la unghiurile 2p / 3, 4p / 3. De exemplu, rotațiile din jurul diagonalei definesc astfel de permutații ale vârfurilor cubului:

Obținem 8 astfel de rotații în total.

c) Axele de simetrie de ordinul doi vor fi linii drepte care leagă punctele medii ale marginilor opuse ale cubului. Există șase perechi de margini opuse (de exemplu ,,), fiecare pereche definește o axă de simetrie, adică obținem 6 axe de simetrie de ordinul doi. Există o rotație neidentică în jurul fiecăreia dintre aceste axe. Doar 6 rotiri. Împreună cu transformarea identității, obținem 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 24 rotații diferite. Sunt indicate toate rotațiile cubului. Rotațiile unui cub definesc permutări pe seturile de vârfuri, margini, fețe și diagonale ale acestuia. Luați în considerare modul în care grupul de rotație al unui cub acționează asupra setului diagonalelor sale. Diferite rotații ale cubului permit diagonalele cubului în moduri diferite, adică corespund diferitelor permutări ale setului de diagonale. Prin urmare, grupul de rotație al cubului definește un grup de permutații pe setul de diagonale, format din 24 de permutații. Deoarece cubul are doar 4 diagonale, grupul tuturor acestor permutări coincide cu grupul simetric de pe setul de diagonale. Deci, orice permutație a diagonalelor cubului corespunde cu o parte din rotația sa, iar permutații diferite corespund cu rotații diferite.

Să descriem acum întregul grup de simetrie al cubului. Cubul are trei planuri de simetrie care trec prin centrul său. Simetriile despre aceste planuri, combinate cu toate rotațiile cubului, ne oferă încă 24 de transformări, care sunt auto-alinieri ale cubului. Prin urmare, grupul complet de simetrie al cubului este format din 48 de transformări.

Grup de simetrie al octaedrului. Octahedrodina a cinci poliedre regulate. Poate fi obținut prin conectarea centrelor fețelor cubului și luarea în considerare a corpului, delimitat de planuri, care sunt determinate de linii de legătură pentru fețele adiacente (Fig. 3). Prin urmare, orice simetrie a cubului este în același timp simetria octaedrului și invers. Astfel, grupul de simetrie al octaedrului este același cu grupul de simetrie al cubului și constă din 48 de transformări.

Grupul de simetrie al unui politop regulat este format din transformări de 2l, unde l este numărul unghiurilor sale plate. Această afirmație se aplică tuturor poliedrelor regulate; poate fi dovedită în formă generală fără a găsi toate simetriile poliedrelor.

Fie G un grup, X un set și f: G × X → X

- afișaj. Notăm f (g, x) cu gx. Spunem că o acțiune a lui G pe X (sau G acționează asupra lui X) este dată dacă (gh) x \u003d g (hx) și ex \u003d x pentru toate g, h G, x X. În acest caz, mulțimea X se numește set G.

Cometariu. Mai precis, acțiunea așa definită se numește stânga. Sub acțiunea corectă, se ia în considerare o mapare f: X × G → X, se introduce notația f (x, g) \u003d xg și sunt necesare următoarele condiții: x (gh) \u003d (xg) h și xe \u003d x. Este clar că tot ceea ce se spune mai jos despre acțiunea din stânga este, de asemenea, adevărat (cu modificările adecvate) pentru acțiunea corectă. Mai mult, rețineți că formula xg \u003d g - 1 x stabilește o corespondență unu-la-unu între acțiunile stânga și dreapta ale lui G pe X (adică, aproximativ vorbind, acțiunile stânga și dreapta ale grupurilor sunt „una și aceeași”). Acțiunea corectă va apărea în mod natural în capitolul 10.

Un subset Y X se numește G-subset dacă GY Y (adică gy Y pentru toate g G, y Y).

Un subset al unui G-set X de forma O (x) \u003d (gx | g G) se numește orbita unui element x X. Orbitele coincid cu subseturile G minime ale lui X. Relația „se află într-o singură orbită” este o relație de echivalență pe X, de aceea orbitele formează o partiție setul X.

Pentru un x X fix, elementele g G astfel încât gx \u003d x formează un subgrup al lui G, care se numește stabil

lizator (sau subgrup staționar ) a elementului x și este notat cu St (x).

Orbitele și stabilizatoarele sunt legate astfel:

Propoziția 7.1 | O (x) | \u003d pentru orice x X.

Exemplu. Fie X \u003d G și G să acționeze asupra lui X prin conjugare, adică (g, x) 7 → gxg - 1. Orbita cu această acțiune se numește

clasa conjugată , și stabilizatorul St (x) -centralizator elementul x (notație - CG (x)). Evident, C G (x) \u003d (a G | ax \u003d xa). Mai mult, dacă grupul G este finit, atunci

CG (x)

unde, la însumarea lui x, trece prin setul de reprezentanți ai claselor conjugate (adică se ia un element din fiecare clasă).

Folosind această acțiune, este dovedit

Teorema 7.2 (Teorema lui Cauchy)Dacă ordinea unui grup G este divizibil cu un p prim, atunci G conține un element de ordin p.

7 .1. Stabiliți echivalența următoarelor două definiții ale acțiunii unui grup G pe un set X:

1) Acțiunea lui G pe X este o mapare G × X → X, (g, x) 7 → gx astfel încât (g1 g2) x \u003d g1 (g2 x) și ex \u003d x pentru toate g1, g2 G, x X.

2) Acțiunea lui G pe X este un omomorfism G → S (X) (unde S (X)

– grupul tuturor bijecțiilor lui X asupra sa).

7 .2. Demonstrați că dacă O (x) \u003d O (y) atunci St (x) este conjugat cu St (y). Este adevărat opusul?

7 .3. Descrieți orbitele și stabilizatorii pentru următoarele acțiuni:

1) Acțiunea lui G asupra sa prin deplasări la stânga (adică (g, x) 7 → gx);

2) Acțiunea lui G asupra sa prin deplasări drepte (adică (g, x) 7 → xg−1 );

3) Acțiunea lui H pe G prin stânga (respectiv dreapta) se deplasează, unde H< G;

x X St (x).

4) Acțiunea lui G prin conjugări pe setul subgrupurilor sale (adică (g, H) 7 → gHg−1 );

5) Acțiunea lui G pe setul de cosete dreapta G / H, unde H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Acțiunea naturală a grupului G \u003d GL (V) a operatorilor liniari nedegenerați într-un spațiu liniar V pe: a) V, b) V × V, c) mulțimea tuturor subspaiilor liniare din V;

7) Acțiunea naturală a grupului G \u003d O (V) al operatorilor liniari ortogonali în spațiul euclidian V pe: a) V, b)

8) G \u003d hσi este un subgrup ciclic în Sn, X \u003d (1, 2, ..., n).

7 .4. * Un izomorfism al acțiunilor unui grup G pe mulțimile X și Y este o bijecție f: X → Y astfel încât f (gx) \u003d gf (x) pentru toate g G, x X. O acțiune a lui G pe X se numește tranzitivă dacă pentru toate x, y X există g G astfel încât y \u003d gx (adică X

Este singura orbită a acestei acțiuni). Demonstrați că fiecare acțiune tranzitivă a lui G pe X este izomorfă față de o acțiune pe G / H pentru un subgrup adecvat H. Când sunt izomorfe acțiunile lui G pe G / H1 și G / H2?

7 .5. Găsiți grupul de automorfisme ale acțiunii naturale a grupului G pe platoul G / H.

7 .6. Dovediți că ordinele claselor de conjugare ale unui grup finit îi împart ordinea.

7 .7. * Dovediți că centrul unui grup p finit este netrivial.

7 .8. * Dovediți că dacă | G | \u003d p2, atunci G este abelian (adică G este izomorf la Z (p2) sau Z (p) × Z (p)).

7 .9. * Dovediți că dacă G este non-Abelian și | G | \u003d p3, apoi | C (G) | \u003d p.

7 .10. Nucleul acțiunii lui G pe X este nucleul omomorfismului corespunzător G → S (X).

a) Verificați dacă nucleul acțiunii lui G pe X este egal cu b) Găsiți nucleul acțiunii lui G pe G / H, unde H< G.

7 .11. * Fie H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.

Grupuri de simetrie ale politopilor obișnuiți

Puneți O (3): \u003d (A GL (3, R) | La A \u003d E), SO (3): \u003d O (3) ∩

SL (3, R). Fie M R3. Grupul de rotație M este

Grot (M) \u003d (g SO (3) | gM \u003d M);

grupul de simetrie M este

Gsym (M) \u003d (g O (3) | gM \u003d M)

(adică Grot (M) \u003d Gsym (M) ∩ SO (3)).

7 .12. Demonstrați că O (3) SO (3) × Z (2).

7 .13. * Găsiți | Grot (M) | și | Gsym (M) | pentru fiecare dintre poliedrele regulate (tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru). În continuare, se presupune că M este încorporat în R3 astfel încât centrul său să coincidă cu originea.

7 .16. * Fie M un cub sau un octaedru. Dovediți că Grot (M) S4.

7 .17. * Fie M un icosaedru sau dodecaedru. Dovediți că

Grot (M) A5.

 

Ar putea fi util să citiți: