Procesul Poisson. Flux de defect Poisson staționar Defecțiunile mașinii formează un flux Poisson cu intensitate

Informatică, cibernetică și programare

Definiţia Poisson flow. Fluxul Poisson este un flux obișnuit fără efecte secundare. Modelul clasic de trafic în retelelor de informatii este cel mai simplu flux Poisson. Se caracterizează printr-un set de probabilități Pk de primire a k mesaje pentru un interval de timp t: unde k=01 este numărul de mesaje; λ este intensitatea curgerii.

1. Definirea debitului Poisson. Proprietăți.

Fluxul Poisson este un flux obișnuit fără efecte secundare.

Modelul clasic de trafic în rețelele de informații este fluxul Poisson (cel mai simplu). Se caracterizează printr-un set de probabilități P(k) de primire a k mesaje pentru un interval de timp t:

unde k=0,1,... - numărul de mesaje; λ - intensitatea curgerii.

Rețineți că intervalul de timp pentru măsurarea numărului de mesaje t și a debitului λ sunt valori constante.

Familia distribuțiilor Poisson P(k) în funcție de λ este prezentată în Fig.1. O valoare mai mare a lui λ corespunde unui grafic de densitate de probabilitate mai amplu și mai simetric.

Orez. 1. Distribuții Poisson. Densități de probabilitate.

Așteptările matematice (media) și varianța fluxului Poisson sunt λ t .

Cunoscând probabilitatea sosirii datelor pentru perioadă, putem obține distribuția intervalului τ între evenimentele învecinate:

De aici concluzia: Fluxul Poisson caracterizată printr-o distribuţie exponenţială a intervalelor dintre evenimente.

Proprietatea principală a curgerii Poisson, care determină utilizarea sa largă în modelare, este aditivitatea: fluxul rezultat al sumei fluxurilor Poisson este și Poisson cu o intensitate totală:

La modelare, fluxul Poisson poate fi obținut prin multiplexarea unui set de surse ON/OFF, care sunt numite procese Markov (Fig. 2.).

Orez. 2. Obținerea distribuției Poisson

2. QS cu defecțiuni (sistem clasic Erlang)

Aici considerăm una dintre primele probleme „clasice” ale teoriei în timp la coadă; această problemă a apărut din nevoile practice ale telefoniei și a fost rezolvată în 1909 de matematicianul danez A.K. Erlang. Problema se pune astfel: sunt n canale (linii de comunicare) care primesc un flux de cereri cu intensitatea λ. Fluxul de serviciu al fiecărui canal are intensitatea μ. Găsiți probabilitățile limită ale stărilor sistemului și indicatorii eficienței acestuia.

Sistemul S (QS) are următoarele stări (le numerotăm în funcție de numărul de clienți din sistem): S 0 , S 1 ,…, S n , unde S k este starea sistemului când există k cereri în el, adică k canale sunt ocupate.

Graficul de stare QS corespunde procesului de moarte și reproducere (Fig. 3).

Orez. 3. Graficul de stare QS

Fluxul de cereri transferă secvenţial sistemul din orice stare din stânga în cea din dreapta vecină cu aceeaşi intensitate λ. Intensitatea fluxului de servicii care transferă sistemul din orice stat din dreapta într-un stat vecin din stânga este în continuă schimbare în funcție de stat. Într-adevăr, dacă QS este în starea S 2 (două canale sunt ocupate), apoi poate trece în starea S 1 (un canal este ocupat), când fie primul, fie al doilea canal termină întreținerea, de ex. intensitatea totală a fluxurilor lor de serviciu va fi de 2μ . În mod similar, fluxul total de servicii care transferă QS din statul S 3 (trei canale ocupate) în S 2 , va avea o intensitate de 3μ , i.e. oricare dintre cele trei canale poate deveni liber și așa mai departe.

În formula (1) pentru schema morții și reproducerii, obținem pentru probabilitatea limită a stării:

(1)

unde sunt termenii de expansiune- coeficienții la p 0 în expresii pentru probabilităţile limitative p 1 , p 2 ,..., p n .

Rețineți că intensitățile λ și μ nu intră în formula (1) separat, ci doar ca raport μ/λ. Notă: μ/λ = p , iar valoarea ρ o vom numi intensitatea redusă a fluxului de cereri sau intensitatea încărcării canalului. Acesta exprimă numărul mediu de cereri care sosesc în timpul mediu de serviciu al unei cereri. Folosind această notație, rescriem formula (1) sub forma:

(2)

în care:

(3)

Formulele (2) și (3) pentru probabilitățile marginale sunt denumite formule Erlang în onoarea fondatorului teoriei cozilor de așteptare.

Probabilitatea de eșec QS este probabilitatea marginală ca toate cele n canale ale sistemului să fie ocupate, adică.

De aici găsim ruda debitului este probabilitatea ca cererea să fie notificată:

Obținem debitul absolut prin înmulțirea intensității fluxului de cereri λ cu Q:

(4)

Rămâne doar să găsim numărul mediu de canale ocupate k. Această valoare ar putea fi găsită „direct”, ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete cu valori posibile 0,1,..., n și probabilitățile acestor valori p 0 , p 1 , …, p n :

Înlocuind aici expresiile (3) pentru p k și efectuând transformările corespunzătoare, am obține în cele din urmă o formulă pentru k. Cu toate acestea, numărul mediu de canale ocupate poate fi găsit mai ușor dacă ne gândim la debitul absolut A sistemul nu este altceva decât intensitatea fluxului de cereri deservite de sistem (pe unitate de timp). Deoarece fiecare canal ocupat servește în medie μ cereri (pe unitate de timp), numărul mediu de canale ocupate este:

sau, dat (4):


La fel și alte lucrări care te-ar putea interesa
58607. Modele de informații tabelare 106,5 KB
Subiect de asimilare: tabular modele informaţionale tabel de tip obiecte-proprietăți tabel de tip obiecte-obiecte un tabel de tip obiecte obiecte mai multe tabel de tip obiecte obiecte proprietăți. Mijloace de asimilare: Analiză logică: Un tabel de tip OS este un tabel care conține informații...
58610. Dreptul familiei 50,5 KB
Scopul lecției: de a caracteriza elementele de bază ale dreptului familiei în Federația Rusă și de a continua formarea abilităților elevilor de a alege acțiuni și acțiuni într-o situație morală și juridică în conformitate cu normele dreptului familiei și moralității. Obiectivele lecției: formarea unui sistem de cunoaștere a dreptului familiei...
58612. management 33,5 KB
În timpul orelor. Împreună ne-am amintit managementul, funcțiile sale, factorii interni și Mediul extern rolul de management al comunicaţiilor Introspecţia lecţiei Analiza structurii. Această lecție a inclus toate etapele principale ale lecției.
58613. Temperamentul și alegerea carierei 60,5 KB
Obiectivele lecției: Educativ pentru familiarizarea elevilor cu conceptele tipului de caracter temperament; Dezvoltarea pentru a dezvolta interesul elevilor pentru alegere viitoare profesie; Educațional pentru a promova educația harniciei, dorința de a alege o viitoare profesie...
58615. Tutorial de randare a animației 3d Max. Exportați animația 3d Max în videoclip 230,5 KB
În secțiunea Render Output, apăsați butonul Fișiere și mergeți la folderul sau creați unul nou unde vom salva cadrele de animație rezultate. Apăsați butonul Sve pentru a reveni la fereastra Configurare randare. Începeți redarea apăsând butonul Redare.

În fluxul de evenimente Poisson (staționare și non-staționare), numărul de evenimente din flux, care se încadrează pe orice loc, este distribuit conform legii Poisson


Astfel, pentru sistemul S studiat cu stări discrete și timp continuu, tranzițiile de la stare la stare au loc sub acțiunea fluxurilor de evenimente Poisson cu o anumită intensitate H.

Să reprezentăm o mașină ca un sistem S cu stări discrete iSj,. 2. .... Sn, care trece din starea S/ în starea Sj(i - 1, 2, ..., n, j = I, 2, ..., și) sub influența evenimentului Poisson fluxuri (eşecuri) cu intensităţi xd. Vom lua în considerare următoarele stări ale mașinii, în care poate fi în proces de funcționare și care sunt caracterizate de timpi de nefuncționare pe tot parcursul zilei

Fluxul de evenimente Poisson este un flux care are două proprietăți - obișnuit și fără efect secundar.

În această secțiune se stabilește o legătură între fluxurile de evenimente Poisson și cu timpul continuu. Se arată cum intensitatea fluxurilor staționare Poisson este utilizată ca densități de probabilitate ale tranzițiilor sistemului de la stare la stare în analiza modelelor de situații specifice.

Există o relație strânsă între fluxurile de evenimente Poisson și procesele Markov discrete în timp continuu.

Relația dintre fluxurile de evenimente Poisson și procesele Markov discrete în timp continuu

Adică, din punct de vedere tehnic, un model Markov în timp continuu este mai ușor de construit decât un model în timp discret, deși rămâne problema respectării legii Poisson a distribuției tuturor fluxurilor de evenimente care transferă elementele sistemului de la o stare la alta.

Putem considera că evenimentele care mută mașina de la o stare la alta sunt fluxuri de evenimente (de exemplu, fluxuri de eșecuri). Dacă toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul (mașina) de la o stare la alta sunt Poisson (staționare sau nestaționare), atunci procesul care are loc în sistem va fi Markovian, iar densitățile de probabilitate ale tranziției Xu într-un lanț Markov continuu. sunt intensitățile fluxului de evenimente care transferă sistemul din starea Si în starea Sj. De exemplu, X03 este intensitatea fluxului de defecțiuni ale mașinii, care transferă mașina din starea de funcționare, de lucru în starea este în TR.

Ipotezele despre natura Poisson a fluxului de evenimente și despre distribuția exponențială a intervalelor de timp dintre evenimente sunt valoroase prin faptul că ne permit să aplicăm în practică aparatul puternic al proceselor aleatorii Markov.

Poisson flux staționar (cel mai simplu) de evenimente

Poisson flux staționar (cel mai simplu) de evenimente

Flux de evenimente non-staționare Poisson

Se consideră un flux Poisson nestaționar cu intensitatea Mf), un interval de timp de lungime r>0, începând din momentul t0 (și terminând, deci, în momentul + r) și o variabilă aleatoare discretă X pr) - numărul de evenimente care au loc în flux pe un interval de timp de la ta la t0+r.

Definiție 6.2. Elementul de probabilitate al apariției unui eveniment într-un flux Poisson nestaționar este probabilitatea >, (AO a apariției unui eveniment pentru un interval de timp elementar (suficient de mic) de la t0 la t0+bt.

Teorema 6.2. Pentru elementul de probabilitate al apariției unui eveniment pe un interval de timp elementar de la t0 la t0 + Af într-un flux Poisson nestaționar cu intensitatea A(t), are loc formula aproximativă.

Principala proprietate caracteristică a unui flux Poisson nestaționar este că probabilitatea ca un anumit număr de evenimente să apară într-un interval de timp depinde nu numai de lungimea acestuia, ci și de momentul începerii acestuia.

Una dintre principalele caracteristici stocastice ale unui flux Poisson nestaționar este o variabilă aleatoare discretă X(t t), care este un număr aleator de evenimente care au loc în flux pe intervalul [t.+t.

O altă caracteristică stocastică principală a unui flux Poisson nestaționar este un interval de timp aleator T(tB) între două evenimente învecinate, primul dintre care a avut loc la momentul t0.

Demonstrație Probabilitatea p (t At) a faptului că sistemul S, care se afla în starea sp în momentul t în intervalul de timp de la t la t+Ы, să treacă de la el în starea s (vezi 4) este egal cu elementul de probabilitate pfa t) al apariţiei unui eveniment în fluxul Poisson P.. pe o secţiune elementară de la t la + A (vezi Definiţia 5.11). Dar (vezi (4.3))

Un sistem în care se desfășoară un proces Markov discret cu timp continuu sare de la o stare x la alta xj nu spontan, ci sub influența unui anumit eveniment, pe care îl putem atribui evenimentelor unui flux Poisson P.. și astfel presupunem că trecerea sistemului de la starea x la starea x are loc sub influența întregului flux /L. Implicarea întregului flux P.. ne oferă posibilitatea să luăm în considerare intensitatea A () a acestui flux.

Să luăm în considerare mai detaliat cazul distribuției Poisson a cererii. Funcția de cost va avea o formă similară cu (5.6.18), cu integrarea peste x înlocuită de însumare. Să găsim densitatea 1>(m) a distribuției timpului de lipsă. Distribuția timpului de debut al k-lea eveniment al fluxului Poisson este supusă legii Erlang de ordinul k-lea. Lipsa începe atunci când întreaga aprovizionare de S și încă o unitate este epuizată, astfel încât

Fluxul total de defecțiuni asociate cu intrarea mașinilor din grupa studiată în TO-2 se obține prin suprapunerea (suprapunerea) fluxurilor de TO-2 ale acestor vagoane. Calculele arată că distribuția intervalului de rulare dintre evenimentele din acest flux respectă legea exponențială. În același timp, debitul TO-2 al tuturor vehiculelor studiate este Poisson.

Imaginea fluxului de defecțiuni asociate cu anularea mașinii este condiționată. Într-adevăr, dacă mașina eșuează în momentul în care are loc primul eveniment al unui anumit flux, atunci nu contează dacă fluxul de defecțiuni continuă după aceasta sau soarta mașinii se oprește nu depinde de asta. În cazul în care elementul (mașina) nu poate fi restaurat, fluxul de defecțiune este Poisson.

Fiecare dintre unitățile incluse în bloc este un sistem complex format dintr-un număr mare de elemente. Eșecul fiecăruia dintre ele poate duce la pierderea capacității de a îndeplini sarcina întregii unități. Fluxul defecțiunilor unității în timp se formează ca urmare a suprapunerii mai multor evenimente - fluxurile de defecțiuni ale elementelor incluse în componența sa. Atunci când se rezolvă o problemă practică, defecțiunile în elemente pot fi considerate ca evenimente independente (sau slab dependente) și obișnuite, prin urmare, pentru fluxul de eșec total al întregului agregat, este legitim să se folosească teorema fluxului limită în teoria proceselor aleatoare. . Această teoremă definește condițiile în care suma independentelor (sau slab dependente)

Acest flux ocupă un loc central între întreaga varietate de fluxuri, precum și variabile aleatoare cu o lege de distribuție normală în teoria probabilității aplicate. Această situație se explică prin faptul că în teoria fluxurilor, precum și în teoria variabilelor aleatoare, există teorema limitei, conform căruia suma unui număr mare de fluxuri independente cu orice lege de distribuție se apropie de cel mai simplu flux cu creșterea numărului de termeni ai fluxurilor.

Staționar Poisson Fluxul (cel mai simplu) este un flux care are trei proprietăți: comun,lipsa efectelor secundareși staționaritate.

Distribuția evenimentelor pe un interval mic de timp

Prin definiție, debitul este limita
, deoarece cel mai simplu flux este staționar, atunci pentru el
.

Staționaritatea fluxului și absența unui efect secundar exclud dependența probabilității de apariție a evenimentelor de interval
atât din localizarea acestui interval pe axa timpului, cât și din evenimentele care îl precedă. Asa de
.

Pentru orice interval de timp, avem . Când te străduiești
toți membrii din partea dreaptă a acestei formule, cu excepția primei, pot fi neglijați, deoarece datorită caracterului obișnuit al fluxului de evenimente, aceste cantități sunt neglijabile în comparație cu
:

.

Ținând cont de cele de mai sus, transformăm expresia originală pentru intensitatea curgerii:

.

Prin urmare, avem egalitatea
, adică probabilitatea apariţiei unui eveniment într-un interval de timp mic este proporţională cu acest interval cu un coeficient .

Este evident că
. Prin urmare,
, de unde avem
- probabilitatea ca un singur eveniment să nu se producă într-un interval scurt de timp
.

Distribuția evenimentelor într-un flux Poisson

Să găsim expresia
, Unde
este probabilitatea ca pe interval
întâmpla evenimente. Acest eveniment va avea loc într-unul din cele două cazuri care se exclud reciproc:

Conform teoremei de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile, avem probabilitatea de apariție a situației 1 sau 2:

Unde . străduindu-se
, primim
.

Să definim o relație similară pentru
. A eveniment pe interval
nu sa întâmplat niciodată, este necesar și suficient să se întâmple 0 ori în interval și 0 ori - in
. Probabilitatea acestui eveniment este egală. De unde, în mod similar, obținem
.

Astfel, fluxul de evenimente Poisson este descris printr-un sistem de ecuații diferențiale liniare

,

cu conditii initiale evidente .

Din prima ecuație obținem
, din conditiile initiale pe care le avem
, Unde c = 1. In cele din urma
.

Astfel, pentru un flux Poisson, probabilitatea
absenta evenimente pe orice interval de lungime este determinată de dependența exponențială. Pentru a rezolva sistemul complet de ecuații, folosim transformata Laplace. Noi avem

Unde
;
si dincolo
;
; ...
.

Luând transformata Laplace inversă, folosind tabele, obținem
, adică Distribuția Poisson.

Astfel, cel mai simplu flux se supune legii distribuției Poisson, pentru care așteptarea și, respectiv, varianța matematică sunt
.

Distribuția intervalelor între evenimente

Să găsim legea distribuției intervalelor de timp între evenimente pentru cel mai simplu flux. Luați în considerare o variabilă aleatoare - intervalul de timp dintre două evenimente arbitrare vecine în cel mai simplu flux. Este necesar să găsiți funcția de distribuție
.

Luați în considerare evenimentul opus
. Aceasta este probabilitatea ca, începând de la un moment dat producerea evenimentului, în timpul nu vor mai apărea evenimente. Deoarece fluxul este fără efecte secundare, faptul că evenimentul a apărut în acest moment , nu ar trebui să aibă niciun efect asupra comportamentului fluxului în viitor. Prin urmare, probabilitatea
, Unde
și densitatea distribuției de probabilitate
.

Această lege de distribuție se numește revelatoare(exponențial) cu parametrul . Să găsim așteptările matematice și dispersie acest proces:

;

Legea exponențială are o proprietate remarcabilă: dacă intervalul de timp distribuit conform legii exponențiale a durat deja de ceva timp , atunci aceasta nu afectează legea de distribuție a părții rămase a intervalului
(va fi aceeași cu legea de distribuție a intervalului ).

Să demonstrăm această proprietate. Lăsa
- probabilitatea ca întreținerea să continue (c), va dura în continuare cel puțin (c): adică pe intervalul de timp A+ t nu va avea loc nici un eveniment. Conform legii exponențiale a distribuției timpului de serviciu
.

Conform teoremei asupra produsului probabilităților evenimentelor. Conform legii exponenţiale;
și, prin urmare
, adică în conformitate cu legea exponențială a timpului de serviciu, legea repartizării părții rămase a timpului de serviciu nu depinde de cât timp a durat deja serviciul. Se poate arăta că legea exponenţială singurul pentru care această proprietate este adevărată.

Considerat proprietate, în esență, reprezintă o altă formulare a proprietății lipsa efectelor secundare.

Pentru standardul de curgere în modelare, se obișnuiește să se ia debitul Poisson.

Fluxul Poisson este un flux obișnuit, fără efecte secundare.

După cum sa menționat anterior, probabilitatea ca într-un interval de timp ( t 0 , t 0 + τ ) se va întâmpla m evenimente, este determinată din legea lui Poisson:

Unde A este parametrul Poisson.

Dacă λ (t) = const( t), acesta este flux staționar de Poisson(cel mai simplu). În acest caz A = λ · t. Dacă λ =var( t), acesta este curgere Poisson instabilă.

Pentru cel mai simplu flux, probabilitatea de apariție m evenimente de-a lungul timpului τ este egal cu:

Probabilitatea de neapariție (adică niciuna, m= 0) evenimente de-a lungul timpului τ este egal cu:

Orez. 28.2 ilustrează dependența P 0 din timp. Este evident că cu cât timpul de observare este mai lung, cu atât este mai mică probabilitatea ca niciun eveniment să nu se producă. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare λ , cu cât graficul este mai abrupt, adică cu atât probabilitatea scade mai repede. Aceasta corespunde faptului că, dacă intensitatea apariției evenimentelor este mare, atunci probabilitatea de neapariție a unui eveniment scade rapid odată cu momentul observării.

Probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se producă ( P XB1C) se calculează după cum urmează:

deoarece P HB1S + P 0 = 1 (fie va apărea cel puțin un eveniment, fie nu va apărea niciunul - celălalt nu este dat).

De la diagramă în continuare orez. 28.3 se poate observa că probabilitatea apariției a cel puțin unui eveniment tinde spre unitate în timp, adică cu o observare adecvată pe termen lung a unui eveniment, un astfel de eveniment se va întâmpla cu siguranță mai devreme sau mai târziu. Cu cât observăm mai mult evenimentul (cu atât mai mult t), cu atât este mai mare probabilitatea ca evenimentul să se producă - graficul funcției crește monoton.

Cu cât este mai mare intensitatea apariției evenimentului (cu atât mai mult λ ), cu cât acest eveniment are loc mai repede și funcția tinde mai rapid spre unitate. Pe grafic, parametrul λ reprezentată de abruptul dreptei (panta tangentei).

Dacă creșteți λ , apoi la observarea evenimentului în același timp τ , probabilitatea apariției evenimentului crește (vezi orez. 28.4). Evident, graficul începe de la 0, deoarece dacă timpul de observare este infinit mic, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă în acest timp este neglijabilă. Și invers, dacă timpul de observare este infinit de lung, atunci evenimentul va avea loc cu siguranță cel puțin o dată, ceea ce înseamnă că graficul tinde către o valoare a probabilității de 1.

Studiind legea, se poate constata că: m x = 1/λ , σ = 1/λ , adică pentru cel mai simplu flux m x = σ . Egalitatea așteptărilor matematice cu abaterea standard înseamnă că fluxul dat este un flux fără efecte secundare. Dispersia (mai precis, abaterea standard) a unui astfel de flux este mare. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că timpul de apariție a unui eveniment (distanța dintre evenimente) este slab previzibil, aleatoriu, este în interval m x – σ < τj < m x + σ . Deși este clar că, în medie, este aproximativ egal cu: τj = m x = T n/ N. Un eveniment poate apărea în orice moment al timpului, dar în raza acestui moment τj relativ m x pe [- σ ; +σ ] (valoarea efectului secundar). Pe orez. 28.5 pozițiile posibile ale evenimentului 2 în raport cu axa timpului sunt afișate pentru un dat σ . În acest caz, spunem că primul eveniment nu îl afectează pe al doilea, al doilea nu îl afectează pe al treilea și așa mai departe, adică nu există niciun efect secundar.

În sensul de P egală r(vezi prelegerea 23. Modelarea unui eveniment aleatoriu. Modelarea unui grup complet de evenimente incompatibile), prin urmare, exprimând τ din formula (*) , în sfârșit, pentru a determina intervalele dintre două evenimente aleatoare, avem:

τ = –1/ λ Ln( r) ,

Unde r- distribuit uniform de la 0 la 1 număr aleator, care este luat din RNG, τ - intervalul dintre evenimente aleatoare (variabilă aleatoare τj).

Exemplul 1. Luați în considerare fluxul de produse care vin la operațiunea tehnologică. Produsele sosesc aleatoriu - în medie opt bucăți pe zi (debit λ = 8/24 [unitate/oră]). Este necesar să se simuleze acest proces în timpul T h = 100 ore. m = 1/λ = 24/8 = 3, adică, în medie, un detaliu la trei ore. observa asta σ = 3. Pe orez. 28.6 este prezentat un algoritm care generează un flux de evenimente aleatorii.

Pe orez. 28.7 arată rezultatul algoritmului - momentele în care detaliile au ajuns la operație. După cum se vede, doar în perioada T n = 100 nod de producție procesat N= 33 de produse. Dacă rulăm algoritmul din nou, atunci N poate fi egal cu, de exemplu, 34, 35 sau 32. Dar, în medie, pt K algoritmul rulează N va fi egal cu 33,33 ... Dacă calculăm distanţele dintre evenimente t Cu iși momente de timp definite ca 3 i, atunci valoarea medie va fi egală cu σ = 3.

Obiectele restaurate după reparații continuă să fie utilizate în scopul pentru care au fost destinate. Fiabilitatea obiectelor restaurate este de obicei evaluată prin caracteristicile fluxului de defecțiuni. V caz general curgere evenimentele este o succesiune de evenimente omogene care urmează unul după altul în momente aleatorii. În teoria fiabilității obiectelor restaurate, sunt luate în considerare în principal cele mai simple fluxuri de evenimente, caracterizate prin banalitate, staționaritateși lipsa efectelor secundare(Asemenea fluxuri de evenimente sunt cel mai des întâlnite în practică).

Fluxul de evenimente este numit comun, dacă probabilitatea de apariție a două sau mai multe defecțiuni într-un interval de timp unitar este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de apariție a unei defecțiuni. Astfel, defecțiunile în sistem apar pe rând.

Fluxul de evenimente este numit staționar, dacă probabilitatea ca unul sau altul de evenimente să se încadreze în intervalul de timp t depinde doar de lungimea intervalului și nu depinde de locul exact pe axă care se află acest interval. Staționaritatea fluxului de evenimente înseamnă că densitatea fluxului este constantă. Este evident că, atunci când este observat, fluxul poate avea concentrații și rarefacții. Totuși, pentru un flux staționar, aceste concentrații și rarefări nu sunt de natură obișnuită, iar numărul mediu de evenimente care se încadrează pe un interval de timp unitar rămâne constant pentru întreaga perioadă luată în considerare.

Fără efect secundarîn cel mai simplu flux de evenimente înseamnă că probabilitatea defecțiunilor într-un singur interval de timp nu depinde de apariția defecțiunilor în toate intervalele de timp anterioare, adică defecțiunile apar independent unele de altele. În instalațiile de calcul electronic, fluxul de defecțiuni este egal cu suma fluxurilor de defecțiuni ale dispozitivelor individuale. Dacă fiecare debit individual are un efect suficient de uniform și mic asupra debitului total, atunci debitul total va fi cel mai simplu.

Fie ca cel mai simplu flux de defecțiuni să aibă următoarele proprietăți.

1. Timpul dintre defecțiuni este distribuit conform unei legi exponențiale cu un anumit parametru A, (formulele (4.16) - (4.21)):

Prin urmare, și T 0 - timpul până la prima defecțiune este distribuit exponențial cu același parametru X(timpul mediu până la primul eșec este așteptarea matematică T:

În astfel de condiții, rata de eșec X(t) se dovedește a fi constantă:

2. Lasă r(t) - numărul de eșecuri pe timp t (r(t) este o variabilă aleatorie). Probabilitatea ca în timp tîntâmpla m Rata de eșec X, este determinată de legea Poisson (vezi (4.22)):

3. Numărul mediu de eșecuri pe timp t este egal cu:

4. Probabilitatea ca în timp t nu va apărea nicio defecțiune, este egal cu: P(t) = e~i.

Cel mai simplu flux de evenimente descris este, de asemenea, numit flux staționar de Poisson. După cum s-a menționat mai sus, un astfel de flux este tipic pentru obiecte complexe de mare încredere.

Procesul de funcționare a obiectului restaurat poate fi descris ca o succesiune de intervale alternante de sănătate și timp de nefuncționare asociate cu restaurarea. Se presupune că defecțiunea obiectului este imediat remediată și din același moment începe procedura de recuperare. Intervalele de sănătate (presupunem o recuperare de 100% a obiectului) sunt variabile aleatoare independente și distribuite identic, în timp ce nu depind de intervalele de recuperare, care sunt, de asemenea, variabile aleatoare independente și distribuite identic (cel mai probabil cu o distribuție diferită). Fiecare dintre aceste secvențe de intervale își formează propriul flux simplu de evenimente.

Amintiți-vă că, în cazul obiectelor recuperabile, principala caracteristică este parametrul fluxului de respingere. Funcționarea unor astfel de obiecte poate fi descrisă după cum urmează: în momentul inițial de timp, obiectul începe să funcționeze și funcționează până la eșec, după o defecțiune are loc recuperarea și obiectul funcționează din nou până la eșec etc. Se determină parametrul fluxului de defecțiune. prin functie de conducereQ(t) a acestui flux, care este așteptarea matematică a numărului de eșecuri în timpul timpului 1:

Unde r(t) - numărul de eșecuri pe timp t.

Parametrul fluxului de defecțiuni co(0) caracterizează numărul mediu de defecțiuni așteptate într-un interval de timp mic și este determinat prin formula (2.9):

Funcția de conducere poate fi exprimată în termeni de parametrul fluxului de eșec:

Pentru fluxuri staționare Poisson, după cum sa menționat mai sus, rata de eșec este o valoare constantă și este egală cu X;în acest caz, coincide cu parametrul debitului de eșec. Într-adevăr, după proprietatea 3 a unui flux Poisson staționar, numărul mediu de defecțiuni în timpul r este: Q.(t) = M = Xt, prin urmare,

MTBF. După cum sa menționat deja, acest indicator este raportul dintre timpul de funcționare și așteptarea matematică a numărului de defecțiuni în acest timp de funcționare. Din moment ce cu un flux constant de eșecuri M)

 

Ar putea fi util să citiți: