Rezolvați grafic ecuația x2. Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice

Buna ziua. În acest articol voi încerca să vă arăt modalități posibile solutii ecuații pătratice folosind grafice.

Să presupunem că trebuie să rezolvați ecuația x 2 - 2x - 3 = 0. În acest exemplu, vom lua în considerare opțiunile de rezolvare grafică a unei ecuații pătratice.

1) Putem reprezenta ecuația noastră sub forma x 2 = 2x + 3. În continuare, vom construi într-un sistem de coordonate graficele funcțiilor y = x 2 și y = 2x + 3. Graficul y = x 2 este prezentat în figura 1 și ambele grafice din figura 2.

Poza 1 Poza 2

Graficele se intersectează în două puncte, ecuația noastră are o soluție x = - 1 și x = 3.

2) Dar puteți prezenta ecuația într-un mod diferit, de exemplu, x 2 - 2x = 3 și construiți într-un singur sistem de coordonate graficele funcțiilor y = x 2 - 2x și y = 3. Le puteți vedea în figurile 3 și 4. Figura 3 prezintă graficul y = x 2 - 2x, iar în figura 4 ambele grafice y = x 2 - 2x și y = 3.

Figura 3 Figura 4

După cum putem vedea, aceste două grafice se intersectează și în două puncte, unde x = -1 și x = 3. Deci raspunsul 1; 3.

3) Există o altă versiune a reprezentării acestei ecuații x 2 - 3 = 2x. Și din nou reprezentăm graficele funcțiilor y = x 2 - 3 și y = 2x în același sistem de coordonate. Primul y = x 2 - 3 din Figura 5 și ambele grafice din Figura 6.

Figura 5 Figura 6

Raspunsul 1; 3.

4) Puteți construi o parabolă y = x 2 - 2x - 3.

Vârful parabolei x 0 = - b / 2a = 2/2 = 1, y 0 = 1 2 - 2 · 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4. Acesta este punctul (1; - 4) . Atunci parabola noastră este simetrică față de dreapta x = 1. Dacă luăm două puncte simetrice față de dreapta x = 1, de exemplu: x = - 2 și x = 4, atunci obținem două puncte prin care trec ramurile graficului.

Dacă x = -2, atunci y = (- 2) 2 - 2 (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5.

În mod similar, x = 4, y = 4 2 - 2 · 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5. Punctele rezultate (-2; 5); (1; 4) și (4; 5) marcați în plan și desenați o parabolă figura 7.

Figura 7

Parabola traversează abscisa în punctele - 1 și 3. Acestea sunt rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0.

Răspuns: - 1 și 3.

5) Și puteți selecta pătratul binomului:

x 2 - 2x - 3 = 0

(x 2 - 2x + 1) ‒1 - 3 = 0

(x -1) 2 - 4 = 0

Apoi construiți într-un sistem de coordonate graficele funcțiilor y = (x - 1) 2 și y = 4. Primul grafic este y = (x - 1) 2 din Figura 8, iar ambele grafice sunt y = (x - 1) ) 2 și y = 4 în figura 9.

Figura 8 Figura 9

De asemenea, se intersectează în două puncte în care x = -1, x = 3.

Raspunsul 1; 3.

6) Deoarece x = 0 nu este o rădăcină a ecuației x 2 - 2x - 3 = 0 (altfel ar fi valabilă egalitatea 0 2 - 2 · 0 –3 = 0), atunci toți termenii ecuației pot fi împărțiți la x. Ca rezultat, obținem ecuația x - 2 - 3 / x = 0. Deplasați 3 / x la dreapta și obțineți ecuația x - 2 = 3 / x Apoi puteți construi într-un singur sistem de coordonate graficele funcțiilor y = 3 / x și y = x - 2 ...

Figura 10 prezintă graficul funcției y = 3 / x, iar în Figura 11 ambele grafice ale funcțiilor y = 3 / x și y = x - 2.

Figura 10 Figura 11

De asemenea, se intersectează în două puncte în care x = -1, x = 3.

Raspunsul 1; 3.

Dacă ai fost atent, ai observat că indiferent cum ai reprezenta ecuația sub formă de două funcții, vei avea întotdeauna același răspuns (înțelege că nu vei greși atunci când transferi expresii dintr-o parte a ecuației în alta și când complot). Prin urmare, atunci când rezolvați grafic o ecuație, alegeți o modalitate de reprezentare a funcțiilor grafice pe care vă este mai ușor să le construiți. Și încă o remarcă dacă rădăcinile ecuației nu sunt numere întregi, atunci răspunsul nu va fi corect.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Ați întâlnit deja ecuații pătratice la cursul de algebră de clasa a VII-a. Reamintim că o ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt orice numere (coeficienți) și a. Folosind cunoștințele noastre despre unele funcții și graficele lor, suntem deja capabili acum, fără a aștepta un studiu sistematic al temei „Ecuații patratice”, să rezolvăm unele ecuații pătratice și căi diferite; vom lua în considerare aceste metode folosind exemplul unei ecuații pătratice.

Exemplu. Rezolvați ecuația x 2 - 2x - 3 = 0.
Soluţie.
Metoda I ... Să construim un grafic al funcției y = x 2 - 2x - 3, folosind algoritmul de la § 13:

1) Avem: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f (1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Prin urmare, vârful parabolei este punctul (1; -4), iar axa parabolei este dreapta x = 1.

2) Luați două puncte de pe axa x care sunt simetrice față de axa parabolei, de exemplu, punctele x = -1 și x = 3.

Avem f (-1) = f (3) = 0. Să construim punctele (-1; 0) și (3; 0) pe planul de coordonate.

3) Desenați o parabolă prin punctele (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (Fig. 68).

Rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0 sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa x; prin urmare, rădăcinile ecuației sunt următoarele: x 1 = - 1, x 2 - 3.

Metoda II. Să transformăm ecuația în forma x 2 = 2x + 3. Să construim într-un sistem de coordonate graficele funcțiilor y - x 2 și y = 2x + 3 (Fig. 69). Ele se intersectează în două puncte A (- 1; 1) și B (3; 9). Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor A și B, ceea ce înseamnă că x 1 = - 1, x 2 - 3.


calea III ... Transformăm ecuația în forma x 2 - 3 = 2x. Să construim într-un sistem de coordonate graficele funcțiilor y = x 2 - 3 și y = 2x (Fig. 70). Ele se intersectează în două puncte A (-1; - 2) și B (3; 6). Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor A și B, prin urmare x 1 = - 1, x 2 = 3.

Metoda IV. Transformăm ecuația în forma x 2 -2x 4-1-4 = 0
și mai departe
x 2 - 2x + 1 = 4, adică (x - IJ = 4.
Să construim într-un sistem de coordonate o parabolă y = (x - 1) 2 și o dreaptă y = 4 (Fig. 71). Ele se intersectează în două puncte A (-1; 4) și B (3; 4). Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor A și B, deci x 1 = -1, x 2 = 3.

metoda V. Împărțind ambele părți ale termenului ecuației cu x, obținem


Să construim o hiperbolă și o dreaptă y = x - 2 într-un sistem de coordonate (Fig. 72).

Ele se intersectează în două puncte A (-1; -3) și B (3; 1). Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor A și B, prin urmare, x 1 = - 1, x 2 = 3.

Deci, am rezolvat grafic ecuația pătratică x 2 - 2x - 3 = 0 în cinci moduri. Să analizăm care este esența acestor metode.

Metoda I. Se construiește un grafic al funcției în punctul de intersecție cu axa x.

Metoda II. Transformați ecuația în forma ax 2 = -bx - c, construiți o parabolă y = ax 2 și o dreaptă y = -bx - c, găsiți punctele de intersecție ale acestora (rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție, dacă, desigur, există).

Metoda III. Ecuația se transformă în forma ax 2 + c = - bx, o parabolă y - ax 2 + c și o dreaptă y = -bx (trece prin originea coordonatelor); găsiți punctele lor de intersecție.

Metoda IV. Aplicând metoda de selecție a unui pătrat complet, transformați ecuația în formă

Construiți o parabolă y = a (x + I) 2 și o dreaptă y = - m paralelă cu axa x; găsiți punctele de intersecție ale unei parabole și ale unei drepte.

metoda V. Convertiți ecuația în formă


Se construiește o hiperbolă (aceasta este o hiperbolă, cu condiția ca) și o dreaptă y = - ax - b; găsiți punctele lor de intersecție.

Rețineți că primele patru metode sunt aplicabile oricăror ecuații de forma ax 2 + bx + c = 0, iar a cincea - numai celor cu c. În practică, puteți alege metoda care vi se pare cea mai potrivită pentru ecuația dată, sau care vă place (sau mai de înțeles).

cometariu ... În ciuda abundenței de modalități de a rezolva grafic ecuații pătratice, încrederea că orice ecuație pătratică avem
putem rezolva grafic, nu. Să presupunem, de exemplu, că trebuie să rezolvați ecuația x 2 - x - 3 = 0 (luăm în mod special o ecuație similară cu cea din
exemplu considerat). Să încercăm să o rezolvăm, de exemplu, în al doilea mod: transformați ecuația în forma x 2 = x + 3, construiți o parabolă y = x 2 și
dreapta y = x + 3, se intersectează în punctele A și B (Fig. 73), ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini. Dar cu ce sunt egale aceste rădăcini, cu ajutorul unui desen
Nu putem spune - punctele A și B nu au astfel de coordonate „bune” ca în exemplul de mai sus. Acum luați în considerare ecuația
x 2 - 16x - 95 = 0. Să încercăm să o rezolvăm, să zicem, în al treilea mod. Transformăm ecuația în forma x 2 - 95 = 16x. Aici trebuie să construiți o parabolă
y \ u003d x 2 - 95 și o linie dreaptă y \ u003d 16x. Dar dimensiunea limitată a unei foi a caietului nu permite acest lucru, deoarece parabola y = x 2 trebuie coborâtă cu 95 de celule în jos.

Deci, metodele grafice de rezolvare a unei ecuații pătratice sunt frumoase și plăcute, dar nu oferă o garanție sută la sută a rezolvării vreunei ecuații pătratice. Vom lua în considerare acest lucru în viitor.

Uneori, ecuațiile sunt rezolvate grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să transformați ecuația în așa fel (dacă nu este deja prezentată într-o formă transformată), astfel încât în ​​stânga și în dreapta semnului egal să existe expresii pentru care puteți desena cu ușurință grafice ale funcțiilor. De exemplu, având în vedere următoarea ecuație:
x² - 2x - 1 = 0

Dacă nu am studiat încă soluția ecuațiilor pătratice într-un mod algebric, atunci putem încerca să o facem fie prin factorizare, fie grafic. Pentru a rezolva grafic o ecuație similară, o reprezentăm după cum urmează:
x² = 2x + 1

Dintr-o astfel de reprezentare a ecuației rezultă că este necesar să se găsească astfel de valori ale lui x pentru care partea stângă va fi egală cu dreapta.

După cum știți, graficul funcției y = x² este o parabolă, iar y = 2x + 1 este o linie dreaptă. Coordonata x a punctelor planului de coordonate situate atât pe primul grafic, cât și pe al doilea (adică punctele de intersecție ale graficelor) sunt exact acele valori x la care partea stângă a ecuației va fi egală cu partea dreapta. Cu alte cuvinte, coordonatele x ale punctelor de intersecție ale graficelor sunt rădăcinile ecuației.

Diagramele se pot intersecta în mai multe puncte, la un moment dat și nu se intersectează deloc. De aici rezultă că ecuația poate avea mai multe rădăcini, sau o rădăcină, sau deloc.

Să ne uităm la un exemplu mai simplu:
x² - 2x = 0 sau x² = 2x

Să desenăm graficele funcțiilor y = x² și y = 2x:

După cum puteți vedea din desen, parabola și linia dreaptă se intersectează în punctele (0; 0) și (2; 4). Coordonatele x ale acestor puncte sunt egale cu 0 și, respectiv, 2. Prin urmare, ecuația x² - 2x = 0 are două rădăcini - x 1 = 0, x 2 = 2.

Să verificăm acest lucru rezolvând ecuația luând factorul comun din paranteze:
x² - 2x = 0
x (x - 2) = 0

Zeroul din partea dreaptă poate fi obținut fie cu x egal cu 0, fie cu 2.

Motivul pentru care nu am rezolvat grafic ecuația x² - 2x - 1 = 0 este că în majoritatea ecuațiilor rădăcinile sunt numere reale (fracționale) și este dificil să se determine cu exactitate valoarea lui x pe grafic. Prin urmare, pentru majoritatea ecuațiilor, soluția grafică nu este cea mai bună. Cu toate acestea, cunoașterea acestei metode oferă o înțelegere mai profundă a relației dintre ecuații și funcții.

:
- x ^ 2 = 2x

Soluţie.
Rezolvarea grafică a ecuațiilor se reduce la faptul că trebuie să construiți funcții care sunt de ambele părți ale semnului egal în ecuație și să găsiți punctele lor de intersecție. Abcisele acestor puncte vor fi rădăcinile ecuației date.
Deci, avem ecuația:

Această ecuație constă din două funcții egale între ele:

Să construim prima functie... Pentru a face acest lucru, vom efectua o mică analiză a acesteia.
Funcția este pătratică, prin urmare, va fi un grafic. Există un semn minus în fața pătratului x, ceea ce înseamnă că funcția este direcționată în jos de ramuri. Funcția este egală, deoarece este pătratică. Funcția nu are coeficienți și termeni liberi, ceea ce înseamnă că vârful ei va fi la origine.
Să găsim câteva puncte prin care trece funcția. Pentru a face acest lucru, în loc de variabila x, înlocuiți valorile 1, -1, 2 și -2.
, - punctul (-1; -1)
, - punctul (1; -1)
, - punctul (–2; –4)
, - punctul (2; -4)
Desenați toate punctele din plan și trageți o curbă netedă prin ele.
Să construim a doua funcție... Funcția este, prin urmare, două puncte sunt suficiente pentru construcția ei. Să găsim aceste puncte ca puncte de intersecție ale funcției cu axele de coordonate.
Cu axa Ox: y = 0. Înlocuiți valoarea laîn ecuație:

Cu axa Oy: x = 0.

A primit doar un punct (0; 0). Pentru a găsi a doua, înlocuiți o valoare arbitrară pentru variabila x, de exemplu, 1.

Al doilea punct - (1; 2)
Desenați aceste două puncte pe același plan de coordonate și trageți o linie dreaptă prin ele.
Acum trebuie să coborâți perpendicularele pe axa Ox de la punctele de intersecție ale graficelor de funcții și să obțineți punctele 0 și –2.
Aceste valori sunt rezultatul soluției grafice a ecuației originale.

 

Ar putea fi util să citiți: