Cele mai simple fluxuri de fluxuri Markov procesează și soluția lanțurilor. Markov procese aleatorii și fluxurile de evenimente. Poisson fluxuri de evenimente și

Luați în considerare unele sistem fizic S \u003d (S 1, S 2, ... S N), care se deplasează de la stat la o stare sub influența unor evenimente aleatorii (apeluri, eșecuri, fotografii). Ne vom imagina acest lucru ca și cum evenimentele care transferă sistemul de la stat la o stare sunt câteva fluxuri de evenimente.

Lăsați sistemul să fie în starea de a fi în statul Si și să se poată deplasa de la ea la starea S, sub influența unui flux de evenimente Poisson cu intensitatea IJ: de îndată ce apare primul eveniment al acestui flux, Sistemul se mișcă instantaneu de la S I în SJ. După cum știm, probabilitatea acestei tranziții pentru o perioadă elementară (element de probabilitate de tranziție) este egală cu, rezultă că densitatea de probabilitate a tranziției IJ în lanțul continuu al lui Markov nu este nimic mai mult decât intensitatea Fluxul evenimentelor care traduc sistemul de către săgeata corespunzătoare. În cazul în care toate fluxurile de evenimente care traduc sistemul S de la starea la starea Poisson, procesul care curge în sistem va fi Markov.

Intensitatea intensității fluxurilor Poisson (densitatea de tranziție) pe graficul de stare al sistemului a săgeților corespunzătoare. Obținem graficul de stare marcat. Pe aceasta, este posibil să se scrieți ecuațiile Kolmogorov și să calculați probabilitățile statelor.

Exemplu. Sistem tehnic S constă în două noduri I și II, fiecare dintre acestea se poate refuza reciproc. Fluxul de eșecuri ale primului nod Poisson cu intensitatea I, al doilea este, de asemenea, Poisson cu intensitate II. Fiecare nod imediat după eșecul începe să fie reparat (recuperat). Stream de recuperare (expunerea ansamblului) pentru ambele noduri - Poisson cu intensitate. Creați un grafic al stării sistemului și scrieți ecuația Kolmogorov. Starea sistemului: S 11 - Ambele noduri sunt bune; S 21 - Primul nod este reparat, al doilea este corect; S 12, S 22.

t \u003d 0 P 11 \u003d 1 P 21 \u003d P 22 \u003d P 12 \u003d 0

p 11 + P 12 + P 21 + P 22 \u003d 1.

Limitați probabilitatea de state pentru lanțul continuu Markov

Să fie un sistem fizic S \u003d (S 1, S 2, ... S N), în care Procesul Random Markov cu fluxuri de timp continuu (lanțul continuu al lui Markov). Să presupunem că ij \u003d const, adică. Toate fluxurile de evenimente sunt cele mai simple (staționare Poisson). După ce a scris sistemul de ecuații diferențiale ale Kolmogorov pentru probabilitățile statelor și injectarea acestor ecuații la o anumită condiție inițială, obținem p1 (t), p 2 (t), ... pn (t), cu orice t] . Am pus următoarea întrebare, care va apărea cu sistemul S la t. Funcțiile P I (t) se vor strădui pentru alt mod? Aceste limite, dacă există, se numesc probabilități limită ale statelor. Puteți dovedi teorema: Dacă numărul de states, desigur, și din fiecare stat, puteți merge (pentru un număr de sau un alt număr de pași) unul în celălalt, atunci probabilitățile limită ale statelor există și nu depind de starea inițială a sistemului. Să presupunem că există condiția atribuită și probabilitățile limită (i \u003d 1,2, ... n) ,.

Astfel, la T în sistem s, este setat un mod staționar limită. Semnificația acestei probabilități este: nu este altceva decât timpul mediu relativ de a rămâne sistemul în această stare. Pentru a calcula P I În sistemul de ecuații Kolmogorov, care descrie probabilitățile statelor, trebuie să puneți toate părțile stângi (derivate) egale cu 0. Sistemul de ecuații algebrice liniare obținute trebuie rezolvat împreună cu ecuația.

Schema de deces și reproducere

Știm că având la dispoziție un grafic marcat de state, puteți scrie cu ușurință ecuațiile Kolmogorov pentru probabilitățile statelor, precum și scrierea și rezolvarea ecuațiilor algebrice pentru probabilitățile finale. Pentru unele cazuri, cele mai recente ecuații sunt gestionate în avans, în alfabet. În special, se poate face dacă graficul sistemului reprezintă așa-numita "diagramă a morții și reproducerii".

Graficul de stat pentru schema de deces și reproducere are apariția prezentată în fig. 19.1. Particularitatea acestui grafic este că toate statele de stat pot fi scoase într-un lanț, în care fiecare dintre stările medii (S1, S 2, ..., S N-1) este asociată cu săgeată directă și inversă cu fiecare din statele adiacente - stările drepte și stângi și extreme (S 0, S N) - numai cu un stat învecinat. Termenul "schemă de moarte și reproducere" provine din problemele biologice, unde o schemă similară descrie o schimbare a numărului populației.

Diagrama morții și reproducerii este foarte frecvent găsită în diferite practici, în special - în teorie serviciul de masăPrin urmare, este util, o dată pentru totdeauna, să găsească probabilitățile finale pentru aceasta.

Să presupunem că toate fluxurile de evenimente care au tradus sistemul de-a lungul shooter-ului graficului sunt cele mai simple (pentru că este numită sistemul S și procesul care curge în ea - cel mai simplu).

Profitând de graficul. 19.1, vom decide, de asemenea, ecuații algebrice pentru probabilitățile finale ale statelor (existența lor rezultă din faptul că din fiecare stat vă puteți merge unul la celălalt și numărul de state, desigur). Pentru primul stat 0 avem:

Pentru al doilea stat 1:

În virtutea (8.1), ultima egalitate este dată formularului

unde K ia toate valorile de la 0 la n. Deci, probabilitățile finale p 0, p 1, ..., p n satisface ecuațiile

În plus, este necesar să se țină seama de starea de normalizare

p 0 + P 1 + P 2 + ... + P N \u003d 1 (8.3)

Fie ca acest sistem de ecuații. Din prima ecuație (8.2), expreim P 1 până la P 0.

De la al doilea, luând în considerare (8.4), obținem:

de la al treilea, luând în considerare (8.5),

Și în general, pentru orice K (de la 1 la N):

Acordați atenție formulei (8.7). În numărător există un produs al tuturor intensităților săgeților care duc la stânga din dreapta (de la început până la această stare s K) și în numitor - produsul tuturor intensităților care stau în săgeți care conduc la stânga stânga (de la început la s k).

Astfel, toate probabilitățile statelor P 1, P 2, ..., P n sunt exprimate prin unul dintre ele (P 0). Înlocuiți aceste expresii în starea de normalizare (8.3). Avem, făcând o cameră P 0:

prin urmare, avem o expresie pentru p 0.

(Am ridicat suportul la gradul -1 pentru a nu scrie fracțiuni cu două etaje). Toate celelalte probabilități sunt exprimate prin P 0 (vezi formulele (8.4) - (8.7)). Rețineți că coeficienții de la P 0 din fiecare dintre ele nu sunt altceva decât membrii secvențiali ai seriei după o unitate în formula (8.8). Deci, calculând P 0, am găsit deja toți acești coeficienți.

Formulele rezultate sunt foarte utile în rezolvarea celor mai simple sarcini ale teoriei întreținerii în masă.

Sarcini de întreținere de masă. Clasificarea sistemelor de întreținere de masă și a caracteristicilor lor principale

În studiul operațiunilor, este adesea necesar să se ocupe de activitatea sistemelor specifice, numite sisteme de întreținere de masă (SMO). Exemple de astfel de sisteme pot servi: stații de telefonie, magazine de reparații, birouri de bilete, cărți de referință, magazine, coafor etc. Fiecare Smo constă dintr-un număr de unități de servire (sau "dispozitive"), pe care vom numi canalele de service. Canalele pot fi: linii de comunicare, puncte de operare, casieri, vânzători, ascensoare, mașini etc. SMO poate fi un singur canal și multi-canal.

Totul este conceput pentru a servi un flux de aplicații (sau "cerințe") care intră în câteva momente aleatorii de timp. Serviciul de aplicații continuă la un fel, în general, timp întâmplător, după care canalul este eliberat și gata pentru primirea următoarei aplicații. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și timpii de servicii conduce la faptul că, în anumite perioade de timp la intrarea în SMO, există un număr excesiv de mare de aplicații (acestea sunt fie în coada de așteptare, fie lăsând să nu asculte ); În alte perioade, SMO va funcționa cu subruge sau în general.

În SMO, există un fel de joint venture cu stări discrete și timpi continuu; Statul Clo modifică saltul la momentele apariției unor evenimente (sau sosirea unei noi aplicații sau sfârșitul serviciului sau momentul în care aplicația obosită de așteptare, părăsește coada de așteptare). Pentru a face recomandări privind organizarea rațională a acestui proces și a face cerințe rezonabile pentru CM, este necesar să se studieze joint-venture, să o descrie matematic. Acest lucru este angajat în teoria lui mo.

Subiectul serviciului de masă este construirea de modele matematice care leagă condițiile de lucru specificate ale SM (numărul de canale, performanța acestora, regulile de lucru, natura fluxului de aplicații) cu caracteristicile de interes - indicatorii de performanță ai Eficiența SMO, care descrie, din unul sau alt punct de vedere, capacitatea sa curat fluxul de aplicații. Ca astfel de indicatori (în funcție de situația și obiectivele de cercetare), pot fi utilizate diferite cantități: de exemplu: numărul mediu de aplicații deservite de SM pe unitate de timp; Numărul mediu de canale ocupate; Numărul mediu de aplicații din coada și timpul de așteptare al serviciului mediu; Probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc. Domeniul de aplicare a metodelor matematice ale teoriei MO se extinde continuu și depășește din ce în ce mai mult sarcinile asociate cu "organizațiile de servire" în sensul literal al cuvânt. Cum pot fi luate în considerare WMO-uri specifice: sisteme de calculator, colectare și prelucrare a informațiilor, ateliere de producție automate, linii de flux, sisteme de transport, sisteme de apărare aeriană etc.

Analiza matematică a activității Smo este foarte facilitată dacă procesul acestei lucrări este Markovsky. Pentru aceasta, este suficient ca toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul de la stat la stat (fluxuri de aplicații, fluxurile de "întreținere") au fost simple. Dacă această proprietate este ruptă, atunci descrierea matematică a procesului devine mult mai dificilă și o aduce în mod explicit, formulele analitice pot reuși doar în cazuri rare. Cu toate acestea, încă aparatul din cea mai simplă teorie a serviciului de masă poate fi utilă pentru o descriere aproximativă a activității SMO și a cazurilor în care evenimentele nu sunt simple. În multe cazuri, pentru a lua o soluție rezonabilă pentru a organiza activitatea SMO, nu necesită o cunoaștere exactă a tuturor caracteristicilor sale - adesea suficiente și aproximative, indicative. În plus, cu atât mai dificil decât cel mai dificil, cu atât mai multe canale de serviciu, cu atât sunt mai precise aceste formule aproximative se dovedesc.

La studierea operațiunilor, este adesea necesar să se ocupe de sistemele concepute pentru utilizarea reutilizabilă la rezolvarea aceluiași tip de sarcini. Procesele care decurg din acest nume procese de întreținereși sisteme - sisteme de întreținere de masă (SMO).Exemple de astfel de sisteme sunt sisteme telefonice, magazine de reparații, complexe de calcul, birouri de bilete, magazine, coafor etc.
Fiecare SMO este alcătuit dintr-un anumit număr de unități de servire (dispozitive, dispozitive, puncte, stații), care vor fi numite canale.servicii. Canalele pot fi linii de comunicare, puncte de operare, mașini de calcul, vânzătorii etc. În funcție de numărul de canale, Smu este împărțit în un singur canalși multichannel.
Aplicațiile vin în mod regulat, de obicei, dar din întâmplare, formând așa-numitul fluxul aleatoriu de aplicații (cerințe).Serviciul de service, în general, continuă, de asemenea, un timp aleatoriu. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și a timpului de serviciu conduce la faptul că OCP se dovedește a fi încărcată inegal: în anumite perioade de timp se acumulează un număr foarte mare de aplicații (fie că devin o coadă, fie lăsați-l pe Puntea nerevenită ), la celelalte perioade de funcționare a FO-urilor cu incarcare sau inactivitate.
Subiectul teoriei întreținerii în masă Este construcția de modele matematice care leagă condițiile specificate pentru funcționarea SMO (numărul de canale, performanța lor, natura fluxului de aplicații etc.) cu eficacitatea SMO-ului, descriind capacitatea sa de a face față cu fluxul de aplicații.

La fel de indicatori de eficiență Se folosește Smolul: media (aici și mai târziu valorile medii sunt înțelese ca așteptări matematice ale variabilelor aleatorie corespunzătoare) Numărul de aplicații servite pe unitate de timp; Numărul mediu de aplicații din coadă; timpul mediu de așteptare al serviciului; probabilitatea refuzului de a menține fără a aștepta; Probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc.

SMO este împărțit în două tipuri principale (clasa): Sm cu eșecuri și href \u003d "cmo_length.php"\u003e Sm cu așteptare (coada). În Clo cu defecțiuni, aplicația primită în momentul în care toate canalele sunt utilizate, primește un refuz, lasă SMOU și în viitor procesul de service nu participă (de exemplu, o cerere pentru apel telefonic În momentul în care toate canalele sunt ocupate, devine un eșec și lasă desfacerea). În Smo cu așteptare, aplicația care a venit în momentul în care toate canalele sunt ocupate, nu pleacă, dar devine o coadă de așteptare.
WMO cu așteptările este împărțită în tipuri diferite În funcție de modul în care este organizată coada de așteptare: cu o lungime de coadă limitată sau nelimitată, cu o perioadă de așteptare limitată etc.
Procesul de lucru OCP este proces aleator.
Sub procesul aleator (probabilistic sau stochastic)se înțelege că procesul de schimbare a timpului starea oricărui sistem în conformitate cu modelele probabiliste.
Procesul este numit procesul cu stări discretedacă statele sale posibile S1, S 2, S 3 pot fi transferate în prealabil, iar tranziția sistemului de la stat la stadiu apare instantaneu (salt). Procesul este numit procesul continuu de procesdacă momentele posibilelor tranziții de sistem din stadiu nu sunt fixate în avans, ci aleatoriu.
Procesul de Smo este un proces aleatoriu cu stări discrete și timpi continuu. Aceasta înseamnă că starea SMO-ului se schimbă cu un salt în momente aleatorii ale apariției unor evenimente (de exemplu, sosirea noii aplicații, sfârșitul serviciului etc.).
Analiza matematică a lucrării Smo este foarte simplificată dacă procesul acestei lucrări este Markovsky. Procesul aleator este numit markovsky.sau procesul aleator fără consecințedacă, pentru oricând, T 0 caracteristicile probabiliste ale procesului în viitor depind doar de starea sa în momentul de față T 0 și nu depind de când și cum a venit sistemul la această stare.

Un exemplu al procesului Markov: sistemul S - contor într-un taxi. Starea sistemului în momentul t este caracterizată de numărul de kilometri (zecimi de kilometri), călătorit de o mașină în acest punct. Lăsați-o la momentul t 0 contorul arată S 0. Probabilitatea ca, la momentul t\u003e t 0, contorul va arăta acest lucru sau acel număr de kilometri (mai precis, numărul corespunzător de ruble) S 1 depinde de S 0, dar nu depinde de momentul în care citirile contorului până în momentul în care T 0 sa schimbat.
Multe procese pot fi aproximativ considerate Markov. De exemplu, jocul de a juca șahul; Sistemul S. - un grup de cifre de șah. Starea sistemului se caracterizează prin numărul de cifre ale adversarului, conservate pe tablă în momentul t 0. Probabilitatea ca, în prezent, avantajul materialului va fi pe partea unuia dintre adversari, depinde mai întâi de ceea ce starea este sistemul în acest moment T 0, și nu când și în ce secvență, formele de la bord au dispărut până la 0. .
În unele cazuri, preistoria proceselor avute în vedere poate fi pur și simplu neglijată și aplicată studiului modelelor Markov.
La analiza proceselor aleatorii cu stări discrete, este convenabil să se utilizeze schema geometrică - așa-numita graficul de stat.De obicei, starea sistemului este descrisă de dreptunghiuri (cercuri) și posibile tranziții de la stat la săgețile de stat (arcuri orientate) care leagă stările.
Sarcina 1. Construiți un grafic al stării următorului proces aleatoriu: dispozitivul este alcătuit din două noduri, fiecare dintre ele, într-un punct aleatoriu, poate eșua, după care începe instantaneu repararea unui nod, ceea ce continuă în prealabil de un necunoscut timp aleatoriu.

Decizie. Starea posibilei starea: S 0 - Ambele noduri sunt bune; S 1 - Primul nod este reparat, al doilea este corect; S 2 - Cel de-al doilea nod este reparat, primul este corect; S 3 - Ambele noduri sunt reparate. Graficul sistemului este prezentat în fig.1.
Smochin. unu
Săgeata îndreptată, de exemplu, de la S 0 la S 1 înseamnă trecerea sistemului la momentul refuzului primului nod, de la S 1 la S 0 - tranziția la sfârșitul acestui nod.
Pe coloană nu există săgeți de la S 0, în S 3 și de la S 1 la S 2. Acest lucru se explică prin faptul că rezultatele nodurilor sunt așteptate independent unul de celălalt și, de exemplu, probabilitatea eșecului simultan al două noduri (tranziția de la S 0 la S 3) sau la capătul simultan al reparațiilor Două noduri (tranziția de la s 3 la S 0) neglijd.

Fluxul de evenimente

Pentru descrierea matematică a procesului aleator Markov cu stări discrete și timpuri continue care apar în Smol, ne vom familiariza cu unul concepte importante Teoriile de probabilitate - conceptul de flux de evenimente.
Sub flux de evenimentese înțelege ca secvența de evenimente omogene, după unul după altul în unele momente aleatorii de timp (de exemplu, fluxul de apeluri pe postul de telefon, fluxul de eșecuri de e-mail, fluxul de cumpărători etc.).
Fluxul este caracterizat intensitate L.- frecvența evenimentelor sau un număr mediu de evenimente care intră în SMOL pe unitate de timp.
Fluxul evenimentelor este numit regulatdacă evenimentele urmează unul după altul la anumite intervale egale. De exemplu, fluxul de produse de pe transportorul magazinului de asamblare (cu o viteză constantă de mișcare) este regulat.
Fluxul evenimentelor este numit staționardacă caracteristicile sale probabiliste nu depind de timp. În special, intensitatea curge staționară Există o valoare permanentă: l (t) \u003dl. De exemplu, fluxul de mașini de pe bulevardul orașului nu este staționar în timpul zilei, dar acest flux poate fi considerat staționar în timpul zilei, spune, în orele de vârf. Atragem atenția asupra faptului că, în acest din urmă, numărul real de mașini pe unitate de timp (de exemplu, în fiecare minut) poate fi diferit semnificativ unul de celălalt, dar numărul mediu va fi în mod constant și nu va depinde de timp.
Fluxul evenimentelor este numit flux fără ameroraredacă pentru oricare două secțiuni non-ciclu ale timpului T 1 și T 2 - Numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care se încadrează pe alții. De exemplu, fluxul de pasageri inclus în metrou practic nu are amerorare. Și, să spunem că fluxul de cumpărători care pleacă de la cumpărarea de la împingere are deja o amerorare (cel puțin pentru că intervalul de timp dintre cumpărătorii individuali nu poate fi mai mic decât timpul minim de serviciu al fiecăruia dintre ele).
Fluxul evenimentelor este numit comundacă probabilitatea de a lovi o mică (elementară) a timpului DT din două sau mai multe evenimente este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de a intra într-un singur eveniment. Cu alte cuvinte, standardul evenimentelor este obișnuit dacă apar evenimente în el pentru unul și nu de grupuri. De exemplu, fluxul scenelor potrivite stației, obișnuite și fluxul de mașini nu este obișnuit.
Fluxul evenimentelor este numit cel mai simplu (sau Staționar Poisson), dacă este simultan staționar, obișnuit și nu are o amerorare.Numele "cel mai simplu" este explicat prin faptul că SMO-ul cu cele mai simple fluxuri are cea mai simplă descriere matematică. Rețineți că fluxul regulat nu este "cel mai simplu", deoarece are o conferință: momentele de evenimente care apar într-un astfel de flux sunt fixate rigid.
Cel mai simplu flux ca cel mai important are loc în teoria proceselor aleatorii ca fiind naturale ca și în teoria probabilității, distribuția normală este obținută ca limită pentru suma variabilelor aleatorii: când este aplicat (superpoziție), un număr suficient de mare de fluxuri independente, staționare și obișnuite (comparabile între intensități L 1. (I \u003d 1,2, ..., n) Se pare că un flux aproape de cea mai simplă cu intensitatel, cantitatea egală de intensități de flux,acestea.
Ia în considerare pe axa timpului (Fig.2) Cel mai simplu flux al evenimentelor ca o succesiune nelimitată de puncte aleatorii.
Smochin. 2.
Se poate demonstra că pentru cel mai simplu flux numărul t.evenimente (puncte) care se încadrează într-o secțiune arbitrară a T, distribuită de către legea lui Poisson

, (1)
pentru care așteptările matematice a unui soi aleator este egal cu dispersia sa: a \u003d.s 2 \u003d.l.t.
În special, probabilitatea ca nici un eveniment să nu aibă loc în timpul t T (m \u003d 0), egal cu (2)
Găsim distribuția intervalului de timp T.Între două evenimente adiacente ale celui mai simplu flux.
În conformitate cu (15.2), probabilitatea ca niciunul dintre evenimentele ulterioare să apară în momentul T, egal cu (3)
Și probabilitatea evenimentului opus, adică. Funcția de distribuție variabilă aleatorie T,există (4)
Densitatea probabilității unei variabile aleatorie este derivatul funcției sale de distribuție (figura 3), adică

(5)

Smochin. 3.
Distribuția specificată de Densitatea probabilității (5) sau funcția de distribuție (4) este numită indicativ(sau exponențială).Astfel, intervalul de timp dintre două evenimente arbitrare adiacente are o distribuție demonstrativă pentru care așteptările matematice este egală cu abaterea medie patrată a variabilei aleatorii (6)
și înapoi valoarea intensității fluxului L.
Cea mai importantă proprietate a distribuției orientative (inerente distribuției orientative) este următoarea: dacă intervalul de timp distribuit de legea orientativă a durat deja ceva timp T, atunci acest lucru nu afectează legea distribuției părții rămase a decalajului (TT): va fi același lucru cu legea distribuției întregii game de T.
Cu alte cuvinte, pentru intervalul de timp T Între cele două evenimente de flux adiacente consistente, cu o distribuție demonstrativă, orice informație despre cât timp a curge acest interval, nu afectează legea distribuției restului. Această proprietate a legii orientative este, în esență, o altă formulare pentru "lipsa de referințe" este principala proprietate a celui mai simplu flux.
Pentru cel mai simplu flux cu intensitatea L, probabilitatea de a intra elementar (mic)dT Time Tăierea cel puțin un eveniment de flux este egal cu (4)
(7)
(Rețineți că această formulă aproximativă primită prin înlocuirea funcției e - L. Dt.doar doi membri ai descompunerii sale într-o serie de grade DT, cu atât mai precis, cu atât mai puțin DT).

4. Modelarea conform schemei ale proceselor aleatorie Markov

Pentru a calcula parametrii numerici care caracterizează obiectele stochastice, trebuie să construiți un model probabilist al fenomenului care ia în considerare factorii aleatorie însoțiți. Pentru descrierea matematică a multor fenomene care se dezvoltă sub forma unui proces aleatoriu, un aparat matematic dezvoltat în teoria probabilităților pentru așa-numitele procese aleatoare Markov poate fi aplicat cu succes. Să explicăm acest concept. Să aibă un sistem fizic S.al cărui stat se schimbă în timp (în cadrul sistemului S. Poate fi înțeleasă prin orice: dispozitiv tehnic, magazin de reparații, mașină de calcul etc.). Dacă starea S. Schimbarea timpului la întâmplare, spun că în sistem S. Procesul aleator încasat. Exemple: Procesul de funcționare a computerului (primirea calculatoarelor pe computer, tipul acestor comenzi, ieșiri aleatoare), procesul de îndrumare la ținta de rachetă țintă (perturbații aleatoare) în sistemul de management al rachetelor), procesul de service pentru clienți În magazinul de coafură sau de reparații (fluxul aleator de aplicații (cerințe) primite de la clienți).

Procesul aleator este numit procesul Markov (sau "Procesul fără consecință"), dacă pentru fiecare moment al timpului T0 probabilitatea oricărei stări a sistemului în viitor (când t.> t.0 ) depinde numai de starea sa în prezent (când t.= t.0 ) Și nu depinde de momentul în care sistemul a venit la această stare (adică cum procesul se dezvolta în trecut). Lasa S. Dispozitiv tehnic care se caracterizează printr-un anumit grad de uzat S.. Suntem interesați de modul în care va funcționa mai departe. În prima aproximare, caracteristicile sistemului în viitor (frecvența defecțiunilor, nevoia de reparații) depind de starea dispozitivului în acest moment și nu depinde de când și modul în care dispozitivul a ajuns la starea actuală.

Teoria proceselor aleatorie Markov este o secțiune extinsă a teoriei probabilității cu o gamă largă de aplicații (fenomene fizice ale tipului de difuzie sau amestecare a amestecului în timpul topire într-un cuptor de explozie, procese de formare a coadălor).

4.1. Clasificarea proceselor Markov

Procesele aleatorii Markov sunt împărțite în clase. Prima caracteristică de clasificare este natura spectrului de stări. Procesul Random (SP) este numit un proces cu stări discrete dacă este posibil starea sistemului S1.S2.S3 ...poate fi listat, iar procesul în sine este că din când în când sistemul s sărituri (instantaneu) sărituri de la o stare la alta.

Exemplu. Dispozitivul tehnic este alcătuit din două noduri I și II, fiecare dintre acestea putând eșua. Statele: S1. - ambele noduri lucrează; S2. - primul nod a refuzat, al doilea lucrător; S.3 - Cel de-al doilea nod a refuzat, primul lucrător; S4. - Ambii noduri au refuzat.

Există procese cu stări continue (tranziție netedă de la stat la stat), de exemplu, o schimbare a tensiunii în rețeaua de iluminat. Vom lua în considerare numai asociația în comun cu stări discrete. În acest caz, este convenabil să se utilizeze graficul de stări în care stările posibile ale sistemului sunt notate în noduri, iar posibilele tranziții sunt arce.

Cea de-a doua caracteristică de clasificare este natura funcționării în timp. Ventimentul în comun se numește un proces de timp discret dacă tranzițiile sistemului de la stat sunt posibile numai în mod strict definit, în avans cu momente fixe de timp: t1,t2 ... . Dacă trecerea sistemului de la stat la o stare este posibilă în orice moment, un moment necunoscut aleatoriu, vorbesc despre asociația în comun cu timp continuu.

4.2. Calculul lanțului Markov la momentul discret

S. Cu stări discrete S1.S2, ...Sn. și timp discret t1,t2, ...,tK, ... (Etapele, etapele procesului, asociația în comun poate fi considerată ca fiind funcția argumentului (numărul pasului)). ÎN general Ventimentul mixt este că apar tranziții S1.® S1.® S2.® S3.® S4.® S1.® … În momente t1,t2,t3 ....

Noi denunțăm evenimentul constând în faptul că după aceea k. - Pași sistemul se află într-o stare SI. Cu orice k. Evenimente https://pandia.ru/text/78/060/IMAGES/IMAGE004_39.gif "Lățime \u003d" 159 "Înălțime \u003d" 25 src \u003d "\u003e.

O astfel de secvență aleatorie de evenimente se numește lanțul Markov. Vom descrie lanțul Markov (MC) folosind probabilitățile statelor. Permiteți probabilitatea ca după k. - Pași sistemul se află într-o stare SI. Este ușor să vezi asta " k. Div_adblock389 "\u003e.

Folosesc evenimentele introduse mai sus https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif "lățime \u003d" 119 "Înălțime \u003d" 27 src \u003d "\u003e. Cantitatea de membri din fiecare rând al matricei ar trebui să fie egală cu 1. În schimb, matricele de probabilitate tranzitorii utilizează adesea graficul de stare marcat (notat pe arcs probabilitățile non-zero ale tranzițiilor, probabilitatea de întârziere nu este necesară, deoarece acestea sunt ușor de calculat, de exemplu, P11 \u003d 1- (P12 +.P13)). Având la dispoziție un grafic marcat de stări (sau matricea de probabilitate tranzitorie) și cunoașterea stării inițiale a sistemului, puteți găsi probabilitățile statelor p1 (k)p2 (k), ...pN (k)" k.

Lăsați starea inițială a sistemului Sm., atunci

p1 (0) \u003d 0 p2 (0) \u003d 0 ...pM (0) \u003d 1 ...pn (0) \u003d 0.

Primul pas:

p1 (1) \u003d PM1, p2 (1) \u003d PM2,... PM (1) \u003d PMM,..., PN (1) \u003d PMN.

După al doilea pas cu formula de probabilitate completă, obținem:

p1 (2) \u003d P1 (1) P11 + P2 (1) P21 + ... PN (1) PN1,

pi (2) \u003d p1 (1) p1i + p2 (1) p2i + ... pn (1) PNI sau https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif "Lățime \u003d" 149 "Înălțime \u003d" 47 "\u003e (i \u003d 1,2,n).

Pentru neomogene MC. Probabilitățile de tranziție depind de numărul pasului. Denotă probabilitățile tranzitorii pentru pasul K prin .

Apoi formula pentru calcularea probabilității de state dobândește forma:

4.3. Markov lanțuri cu timp continuu

4.3.1. Ecuațiile Kolmogorov.

În practică, este mult mai frecventă situațiile în care sistemul de tranziții de la stat la stat apare în momente aleatorii din momentul în care este imposibil să se precizeze în prealabil: de exemplu, defectarea oricărui element al echipamentului, sfârșitul repararea (recuperarea) acestui articol. Pentru a descrie astfel de procese, în unele cazuri, este aplicată cu succes o schemă a procesului Random Markov cu stări discrete și timp continuu - un lanț continuu de Markov. Arătăm cum probabilitățile statelor sunt exprimate pentru un astfel de proces. Lasa S \u003d (S1.S2, ...SN). Denotă de pI (t) - probabilitatea ca în acest moment t. sistem S. va fi capabil să). Evident. Vom livra sarcina - pentru a determina pentru orice t.pI (t). În loc de probabilități tranzitorii Pij.introducem în considerare densitatea probabilităților de tranziție

Dacă nu depinde de t., Spun ei despre un lanț omogen, altfel - despre eterogen. Spuneți-ne pentru toate perechile de stat (graficul de stare marcat este setat). Se pare că cunoașterea graficului de stare marcat poate fi determinat p1 (t)p2 (t) ..pN (t)în funcție de timp. Aceste probabilități satisfac un anumit tip de ecuații diferențiale (ecuațiile Kolmogorov).

Integrarea acestor ecuații cu starea inițială cunoscută a sistemului va da probabilitățile dorite ale statelor în funcție de timp. observa asta p1 +.p2 +.p3 +.p4 \u003d 1.Și puteți face în trei ecuații.

Reguli pentru pregătirea ecuațiilor Kolmogorov. În partea stângă a fiecărei ecuații există un derivat al probabilității unei stări, iar partea dreaptă conține atât de mulți membri ca săgețile asociate cu această stare. Dacă săgeata este direcționată de la stat, elementul corespunzător are un semn minus dacă semnul este un semn plus. Fiecare membru este egal cu densitatea probabilității de tranziție care corespunde acestei săgeții înmulțită cu probabilitatea statului din care are loc săgeata.

4.3.2. Fluxul de evenimente. Cel mai simplu flux și proprietățile sale

Atunci când se iau în considerare procesele care curg în sistem cu stări discrete și timpuri continue, este adesea convenabil să ne imaginăm procesul ca și cum tranzițiile sistemului de la stat în starea apar sub acțiunea unor fluxuri de evenimente. Fluxul de evenimente este secvența de evenimente omogene, după unul după altul în unele, în general, momente aleatorii de timp. (Fluxul de apel la schimbul de telefon; defecțiuni (defecțiuni) ale calculatorului; fluxul de compoziții de marfă care intră în stație; fluxul de vizitatori; fluxul de fotografii care vizează țintă). Vom descrie fluxul de evenimente prin succesiunea punctelor pe axa de timp oT.. Poziția fiecărui punct de pe axă este aleator. Fluxul evenimentelor este numit regulat Dacă evenimentele urmează unul după altul prin intermediul unor intervale strict (rareori se întâlnesc în practică). Luați în considerare un tip special de fluxuri, pentru aceasta introducem un număr de definiții. 1. Se numește fluxul de evenimente staționar Dacă probabilitatea unui singur număr de evenimente în perioada de timp depinde numai de lungimea site-ului și nu depinde de locul în care se află pe axa OT, acest site este localizat (în timp) - caracteristicile probabiliste ale acestora Un flux nu ar trebui să se schimbe din când în când. În special, așa-numita intensitate (sau densitate) a fluxului de evenimente (numărul mediu de evenimente pe unitate de timp) este constantă.

2. Fluxul evenimentului numit flux fără consecințeÎn cazul în care numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de niciun timp care nu are loc pe cât de multe evenimente au atins celălalt (sau alții dacă sunt luate în considerare mai mult de două situri). Absența consecințelor în flux înseamnă că evenimentele care formează fluxul apar în momente secvențiale de timp independent unul de celălalt.

3. Se numește fluxul de evenimente comun Dacă probabilitatea de a atinge porțiunea elementară a două sau mai multe evenimente este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de a intra într-un singur eveniment (evenimentele din flux vin într-un fel, și nu în perechi, trei, etc.).

Se numește fluxul de evenimente cu toate cele trei proprietăți mai simplu (sau staționar poissonsky.). Fluxul Poisson Nonstationary are doar proprietăți 2 și 3. Fluxul de evenimente Poisson (atât staționar, cât și non-staționare) este strâns legat de distribuția cunoscută a Poisson. Și anume, numărul evenimentelor de flux care se încadrează pe orice complot este distribuit în conformitate cu Legea Poisson. Să explicăm mai detaliat.

Ia în considerare pe axa despret.În cazul în care există un flux de evenimente, o lungime de t, începând de la moment t.0 și terminând la acea vreme t.0 + t. Nu este dificil să se dovedească (dovada este dată în toate cursurile de teorie a probabilității) că probabilitatea de a intra în acest site este exact evenimente M exprimate prin formula:

(m.=0,1…),

unde dar - Numărul mediu de evenimente care intră în complot t.

Pentru Fluxul staționar (cel mai simplu) Poisson a \u003d.l.t., adică nu depinde de locul în care axa oT. Ia un complot t. Pentru fluxul Poisson non-staționar, valoarea dar Formula este exprimată

și apoi depinde de ce punct t.0 Site-ul T începe.

Ia în considerare pe axa oT. Cel mai simplu flux de evenimente cu intensitate constantă l. Vom fi interesați de intervalul de timp între evenimentele din acest flux. Fie ca să fiu intensitate (numărul mediu de evenimente în 1 timp). Densitatea distribuției f.(t.) Variabilă aleatorie T. (intervalul de timp între evenimentele adiacente din flux) f.(t.)= l.e.- l.t. (t.> 0) . Legea distribuției cu o astfel de densitate se numește indicativă (exponențială). Găsiți valori numerice ale variabilelor aleatorii T.: Așteptarea matematică (valoarea medie) și dispersia stânga "\u003e

Interval de timp T. între evenimentele vecine în fluxul cel mai simplu este distribuit în conformitate cu legea orientativă; Media sa și deviația medie patrată este egală, unde l este intensitatea fluxului. Pentru un astfel de flux, probabilitatea apariției pe secțiunea elementară a timpului Δt este exact un eveniment de flux este exprimat ca. Această probabilitate vom fi numită "element de probabilitate a unui eveniment".

Pentru un flux non-staționar Poisson, legea distribuției decalajului nu va mai fi orientativă. Tipul acestei legi va depinde de primul, unde pe axa oT. Situat în primul rând evenimentele, în al doilea rând, pe tipul de dependență. Cu toate acestea, dacă se schimbă relativ încet și schimbarea acestuia în timpul dintre cele două evenimente este mică, distribuția timpului intervalului de timp între evenimente poate fi considerată indicativă, crezând în această formulă valoarea egală cu valoarea medie a complotului ne interesează.

4.3.3. Poisson fluxuri de evenimente și

lanțuri continue Markov.

Ia în considerare unele sistem fizic S \u003d (S1.S2, ...Sn)care se mișcă de la stat într-o stare sub influența unor evenimente aleatorii (apeluri, eșecuri, fotografii). Ne vom imagina acest lucru ca și cum evenimentele care transferă sistemul de la stat la o stare sunt câteva fluxuri de evenimente.

Lăsați sistemul S.la momentul timpului t. Situat într-o stare SI și poate merge de la ea la o stare SJ. Sub influența unui flux de evenimente Poisson cu intensitate l.iJ.: De îndată ce apare primul eveniment al acestui fir, sistemul se mișcă instantaneu de la SI în SJ. ..GIF "Width \u003d" 582 "Înălțime \u003d" 290 src \u003d "\u003e

4.3.4. Limitați probabilitatea de state

Să fie un sistem fizic S \u003d (S1.S2, ...Sn)în care se desfășoară procesul aleatoriu Markov cu timp continuu (lanțul continuu al lui Markov). Să presupunem asta l.ij \u003d.const., adică toate fluxurile de evenimente sunt cele mai simple (staționare Poisson). După ce a scris sistemul de ecuații diferențiale ale Kolmogorov pentru probabilitățile statelor și injectarea acestor ecuații în condițiile inițiale specificate, ajungem p1 (t)p2 (t), ...pN (t), cu orice t.. Am pus următoarea întrebare care se va întâmpla cu sistemul S.pentru t.® ¥. Dacă va fi funcția pI (t.) Striune pentru alt mod? Aceste limite, dacă există, se numesc probabilități limită ale statelor. Puteți dovedi teorema: Dacă numărul de states, desigur, și din fiecare stat, puteți merge (pentru un număr de sau un alt număr de pași) unul în celălalt, atunci probabilitățile limită ale statelor există și nu depind de starea inițială a sistemului. Să presupunem că există condiția atribuită și probabilitățile limită (i \u003d 1,2, ...n) ,.

Astfel, când t.® ¥ în sistem S. Setați un mod staționar limită. Semnificația acestei probabilități este: nu este altceva decât timpul mediu relativ de a rămâne sistemul în această stare. Pentru calcul pi. În sistemul de ecuații Kolmogorov care descriu probabilitățile statelor, trebuie să puneți toate părțile stângi (derivate) egale cu 0. Sistemul de ecuații algebrice liniare obținute trebuie rezolvat împreună cu ecuația .

4.3.5. Schema de deces și reproducere

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif "lățime \u003d" 73 "înălțime \u003d" 45 src \u003d "\u003e (4.4)

De la al doilea, luând în considerare (4.4), obținem:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif "lățime \u003d" 116 "înălțime \u003d" 45 src \u003d "\u003e (4.6)

Și în general, pentru orice K (de la 1 la N):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif "lățime \u003d" 267 "înălțime \u003d" 48 src \u003d "\u003e

prin urmare, avem o expresie pentru P0.

(4. 8)

(Am ridicat suportul la gradul -1 pentru a nu scrie fracțiuni cu două etaje). Toate celelalte probabilități sunt exprimate în P0 (vezi formulele (4.4) - (4.7)). Rețineți că coeficienții de la P0 în fiecare dintre ele nu sunt altceva decât membrii secvențiali ai unei serii care se confruntă cu unitatea din formula (4.8). Deci, calculând P0, am găsit deja toți acești coeficienți.

Formulele rezultate sunt foarte utile în rezolvarea celor mai simple sarcini ale teoriei întreținerii în masă.

Procesul de lucru OCP este un proces aleatoriu. În cadrul unui proces aleatoriu (probabilistic sau stochastic) înseamnă procesul de schimbare în timpul stadiului oricărui sistem în conformitate cu legile probabilistice.

Procesul se numește un proces cu stări discrete dacă statele sale posibile S1, S2, S3 ... pot fi transferate în avans, iar sistemul de tranziții de la starea la stat apare instantaneu (salt). Procesul este numit un proces continuu de proces dacă momentele posibilelor tranziții ale sistemului din stat nu sunt fixate în prealabil, ci aleatorii.

Procesul de Smo este un proces aleatoriu cu stări discrete și timpi continuu.

Procesul aleator este numit Procesul Markov sau aleatoriu fără consecințe, dacă, pentru oricând T0, caracteristicile probabilistice ale procesului în viitor depind doar de starea sa în acest moment T0 și nu depind de când și cum a venit sistemul la această stare .

Un exemplu al procesului Markov: sistemul S - contor într-un taxi. Starea sistemului la momentul t este caracterizată de numărul de kilometri parcurși de mașină până în acest punct. Să presupunem că în momentul t0, contorul arată S0. Probabilitatea ca, la momentul t-t0, contorul va afișa acest lucru sau acel număr de kilometri (mai precis numărul corespunzător de ruble) S1 depinde de S0, dar nu depinde de punctele de contor schimbate în momentul în care T0.

În unele cazuri, preistoria proceselor avute în vedere poate fi pur și simplu neglijată și aplicată studiului modelelor Markov.

La analiza proceselor aleatorii cu stări discrete, este convenabil să se utilizeze schema geometrică - așa-numitul grafic al coloanei. De obicei, statutul de stat este descris de dreptunghiuri (cercuri) și posibile tranziții de la stat la săgețile de stat (arcuri orientate) care leagă statele (figura 1).

Figura 1 - Graficul de stat

Pentru descrierea matematică a procesului aleatoriu Markov cu stări discrete și timpi continuu care apar în SMO, vom fi familiarizați cu unul dintre conceptele importante ale teoriei probabilității - conceptul fluxului de evenimente.

Sub fluxul de evenimente înseamnă o secvență de evenimente omogene, după unul după altul la momente aleatorii de timp

Exemple pot fi:

- fluxul de apel la schimbul de telefon;
- fluxul de incluziuni de dispozitive din sursa de alimentare de uz casnic;
- fluxul de compoziții de marfă care intră în gara:
- fluxul de defecțiuni (eșecuri) al mașinii de calcul;
- Fluxul de fotografii îndreptate spre țintă.

Debitul se caracterizează prin intensitatea L - frecvența evenimentelor sau a unui număr mediu de evenimente care intră în Smolul pe unitate de timp.

Fluxul evenimentului este numit regulat dacă evenimentele urmează unul după altul după anumite intervale. Un astfel de flux este relativ rar în practică, dar este un anumit interes ca un caz extrem.

Fluxul de evenimente este numit staționar dacă caracteristicile sale probabiliste nu depind de timp. În special, intensitatea fluxului staționar este magnitudinea constantă :.

Fluxul de evenimente este numit flux fără amerorare, dacă pentru orice două secțiuni non-ciclu și _ numărul de evenimente care se încadrează pe unul dintre ele nu depinde de numărul de evenimente care se încadrează pe alții. De exemplu, fluxul de pasageri inclus în metrou nu are practic nici o consecință. Și, să spunem că fluxul de cumpărători care pleacă de la imagini are deja consecințele (dacă numai pentru că intervalul de timp dintre cumpărătorii individuali nu poate fi mai mic decât timpul minim de serviciu al fiecăruia dintre ele).

Fluxul de evenimente este obișnuit dacă probabilitatea de a intra într-o secțiune mică (elementară) a timpului, două sau mai multe evenimente este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de a intra într-un singur eveniment. Cu alte cuvinte, standardul evenimentelor este obișnuit dacă apar evenimente în el pentru unul și nu de grupuri.

Fluxul de evenimente se numește cel mai simplu (sau staționar Poisson), dacă este simultan staționar, obișnuit și nu are consecințe.

Cel mai simplu flux ca cel mai simplu rezultă în teoria proceselor aleatorii ca și în teoria probabilității Distribuția normală este obținută prin suprapunerea (suprapunerea) un număr suficient de mare de fluxuri independente, staționare și obișnuite (comparabile între intensități) Un flux apropiat de cea mai simplă cu intensitatea L egal cu suma intensităților fluxurilor de intrare:

Luați în considerare la axa de timp cel mai simplu flux al evenimentelor ca o succesiune nelimitată a punctelor aleatorii. (Figura 2)

Figura 2 - Fluxul evenimentului

Se poate demonstra că pentru cel mai simplu flux, numărul de evenimente (puncte) care intră în secțiunea arbitrară a timpului F este distribuit în conformitate cu Legea Poisson

pentru care așteptările matematice a unui soi aleator este egal cu dispersia sa:

În special, probabilitatea ca nici un eveniment să nu aibă loc în timpul φ (m \u003d 0), este egal cu

Vom găsi distribuția intervalului de timp între cele două evenimente adiacente ale celui mai simplu flux.

În conformitate cu formula, probabilitatea ca nu să apară evenimente ulterioare în momentul t

Și probabilitatea evenimentului opus, adică. Funcția de distribuție a valorii aleatorie este

Densitatea probabilității unei variabile aleatorie este derivatul funcției sale de distribuție:

Distribuția specificată de densitatea de probabilitate sau de funcția de distribuție se numește o indicație (sau exponențială). Astfel, intervalul de timp dintre două evenimente arbitrare adiacente are o distribuție orientativă pentru care așteptările matematice este egală cu abaterea medie patrată a variabilei aleatorii

și înapoi intensitatea intensității fluxului l.

Cea mai importantă proprietate a distribuției orientative (inerente numai de distribuția indicativă) este următoarea: dacă intervalul de timp distribuit în conformitate cu legea orientativă a durat deja ceva timp F, atunci acest lucru nu afectează legea distribuției Partea rămasă a intervalului (TF): va fi aceeași, precum și legea distribuției întregii game de T.

Cu alte cuvinte, pentru intervalul de timp, între două evenimente consecutive adiacente, cu o distribuție demonstrație, orice informație despre cât timp a curge acest interval, nu afectează legea distribuției restului.

Pentru cel mai simplu flux cu intensitatea L, probabilitatea de a intra într-o perioadă elementară (mică) de timp? T cel puțin un eveniment de flux este egal cu

Tehnologii computaționale

Volumul 13, ediția specială 5, 2008

Studiul fluxului semi-Markovsky de evenimente

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova Universitatea de Stat Tomsk, Rusia E-mail: [E-mail protejat] PMK. Tsu. Ru, [E-mail protejat] RU.

I.r. Garajashin.

Sucursala Kemerovo. universitate de stat În Anzhero-Sudzhensk, Rusia e-mail: [E-mail protejat]

În lucrarea depusă, se ia în considerare procesul Semimarkovian. Modelul de limitare este luat în considerare. Rezultatele tratamentului analitic al modelului de limitare sunt comparate prin metoda asimptotică.

Introducere

Există o problemă de extindere a clasei de modele matematice de fire de evenimente omogene. Adesea, modelele clasice ale fluxurilor de flux aleatoriu nu pot fi adecvate informațiilor reale, fluxurilor de telecomunicații. Modelele Poissopovski și cele mai simple fluxuri sunt adesea suficiente pentru mai credibile, aproape de realitatea descrierii fluxurilor de intrare pentru sistemele de întreținere de masă. În ciuda faptului că există fluxuri de tip de fază și fluxuri de poisson modulate care sunt mai adecvate situațiilor reale, modelele fluxului semi-Markovski sunt de mare interes, care sunt un caz special din care sunt fluxurile de recuperare Markov și toate din fluxurile de mai sus. Metodele de studiere a acestor modele sunt destul de complexe și conduc la probleme matematice semnificative. Prin urmare, împreună cu sarcina de a extinde cursurile de cursuri, există o problemă de elaborare a metodelor de cercetare.

1. Modelul matematic

Prin fluxul aleator de evenimente omogene (flux) se va numi o secvență ordonată

t \\< ¿2 < ■ ■ ■

valori aleatoare ale TM - momentele evenimentelor din pârâu.

Permiteți matricea semi-Market A (X) cu un element de AKLK2 (X), matricea p \u003d Lim A (X) este stochastică, prin urmare, cu o distribuție inițială dată

acesta definește un anumit lanț al lui Markov K (TM) cu un timp discret, pe care îl vom numi lanțul Markov imbricat în fluxul semi-Markovsky,

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova, I. R. Garayshina

Un flux aleatoriu de evenimente omogene va fi numit semi-Markovski, în cazul în care legea probabilistică a formării secvenței (1) este determinată de distribuția inițială și de egalități

AK1K2 (X) \u003d P (K (BT + 1) \u003d K2, BT + 1 -< х ^^т) = к\ }

pentru toate t\u003e 1.

Denotați de P (b) numărul de evenimente din fluxul semi-Marco-Eyed, NAEPP a mers în timpul intervalului.

Sarcina de a studia această lucrare este de a stabili distribuția probabilităților P (N, B) \u003d P (P (B) \u003d P) cu funcționarea staționară a lanțului ergodic al lui Markov K (1t). Evident, procesul P (b) este Nemarkovsky, astfel încât definim două procesuri aleatorii: g (b) - lungimea intervalului din momentul în care până la momentul următorului eveniment în fluxul în cauză, K (B ) este un proces continuu de stânga, cu o valoare continuă, valoare care este constantă pe interval (BT, BT + 1] și sunt determinate de egal cu (b) \u003d k (BT + 1). În virtutea definițiilor făcute, Procesul aleator (K (b), P (b), G (b)) este procesul tridimensional Markov cu timp continuu.

Rețineți că procesul aleatoriu la (b) nu este o jumătate de desen animat în definiția clasică, deoarece procesul semi-Markov B (b) este continuu pe dreapta și, după cum sa indicat, nu există ecuații evolutive diferențiale de Kolmogorov, În timp ce procesul propus mai sus (K (b), P (b), G (b)) - Markovski, deci pentru distribuția sa de probabilitate

P (k, p, g, b) \u003d P (k (b) \u003d k, p (b) \u003d n, g (b)< г} (2)

este ușor de făcut un sistem de ecuații diferențiale de Kolmogorov Dr (K, P, G, B) altele (K, P, G, B) alte (k, p, 0, b) ^ ETA (și, N - 1.0 , b)

^ DG (și, 1 s - 1, 0, b) A (\\ 2 - ^ -

dG DG ^ DG

Denota

N (k și, g, d) \u003d ^ e "iPr (k, p, g, b),

unde] \u003d ¡~ ~ unitate imaginară. Pentru aceste funcții de la sistemul de ecuații diferențiale, Kolmogorov poate fi înregistrat

dn (k și, g, b) din ziua (k și, g, b) din ziua (k și, 0, b) și zile (și, și, 0, b)

dG DG ^ DG

Denotă de H (și, G, B) \u003d (H (1, și G, B), H (2 și, G, B), ...) șir de funcții vectoriale, apoi un sistem de ecuații (3) rescrie în matrice

nn (și, g, d) _ nn (și, g, d) de dn (și, 0, d) mc, g h p t

dG DG + DG 1 [) "" [)

soluția care satisface condiția inițială H (U, Z, 0) \u003d R (Z), unde i este o matrice unică și distribuția staționară a procesului de marcare bidimental (K (t) , Z (t)) este soluția problemei din Cauchy

<Ш = <Ш(1-Мг)),

și este determinată de egalitatea R (z) \u003d SIT / (P - A (x)) DX, unde AIE \u003d AICI, G - Vector

rândul de distribuție staționară a probabilităților de valori ale lanțului imbricat Markov

k (tm); E este o singură coloană vectorială și matrice A \u003d (P - A (x)) DX.

2. Modelul corespunzător

Lăsați-i să aibă o ecuație diferențială (4), a cărei soluții H (U, Z, T) satisface condiția inițială H (U, Z, 0) \u003d R (Z). Apoi transformarea Fourier - Stiliessa

f\u003e (u, a, t) \u003d / ejaz dz h (u, z, t) al funcției vectoriale h (u, z, t) satisface ecuația

dF (și, A, B). . DN (și, 0, b) ,. * . Ch,.

t \u003d ~ zaf (sh a, + - (E? IA * (a) - /) (5)

și starea primară

f (și, a, 0) \u003d r * (a) \u003d ^ e\u003e A2

unde a * (a) \u003d j е\u003e a "2da (z). Soluția de ecuație (5) are forma de

f (și, a, 1) \u003d e ~ za [II * (a) + I (¿\u003e IA * (A) - I) DT]. (6)

Stabilirea în infinit în expresia (6), obținem transformarea Fourier

dn (și, 0, t) ^ ^ "l

din funcția vectorului ---. După configurarea conversiei Fourier, definim

I e-j * A * (AJ) 1 da.

A. A. Nazarov, S. V. Lopukhova, I. R. Raraisshia

Acum, egalitatea (6) poate fi scrisă ca

f (SCH, D) \u003d E-OH I * (A) +

+ - / E] la i e ~ zutk * (y) (/ - e\u003e iA * (y)) 1 au (e "ia * (a) - /)<*г). (7)

Știind că H (și, G) \u003d N (și, G) \u003d F (și, 0,1), obținem expresia pentru funcția vectorului N (și, D):

Apoi distribuția probabilității P (n, d) a numărului de evenimente care au avut loc în timpul G,

n (și, b) \u003d MEAEIP (b \u003d n (și b) e, are forma

1 cu A1 G 1 - E- ™ B

P (N, 1) \u003d - E ~ Zipns) E (1i \u003d - / - ^ - 5

I - A * (Y) A * (Y) P-1IU, (8)

I - a * (y) e<1у

Concluzie

Prin efectuarea studiilor asimptotice ale fluxului de evenimente semi-Marko, similar cu studiul fluxurilor de recuperare a lui Markov, obținem că poate fi scrisă asimptotica din a treia ordine pentru o funcție caracteristică ca

Megap (1) \u003d ^ "(Ge ^ + ^ ae ^ + ^ az *)

În cazul în care coeficienții 831, A2, AZ3 pentru fluxul semi-markovski sunt definiți în mod similar cu modul în care se face în lucrări. Egalitatea obținută (8) determină distribuția probabilităților P (n, d) a numărului de evenimente care au avut loc în fluxul staționar semi-supapei administrat de matricea semi-martic A (X) și transformarea acesteia A * ( x) Fourier - Stiliessa, implementarea numerică a formulelor (8) vă permite să găsiți valorile numerice ale probabilităților P (N, D) pentru o matrice de kell suficient de largă A * (x) și valorile G . Dar posibilitățile de implementare numerică sunt limitate de resursele computaționale. Pentru valori suficient de mari ale G, este normal să se aplice metoda de analiză asimptotică a fluxului semi-supape în același mod ca și pentru fluxul de recuperare a lui Markovski în operație și fluxul de recuperare a lui Markov în Operațiune. Prezența unui algoritm numeric (8) vă permite să determinați domeniul de aplicare al aplicării rezultatelor asimptotice. Pentru fluxurile considerate cu trei stări ale lanțului încorporat Markov, distanța dintre Kolmogorov - Smirnov între distribuții,

obținute asimptotic și de formulele (8) nu depășește 2-3% pentru anumite valori t \u003d t, acest lucru sugerează că, în mod eficient, utilizarea rezultatelor asimptotice și cu t< Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе.

Bibliografie

Frontiera B.C. Sisteme de sisteme stochastice. Kiev: științe, Dumka, 1989. 208 p.

Nazarov A.A., Lopukhova C.B. Investigarea fluxului de recuperare a lui Markov Metoda asimptotică a ordinii // Mater. Intern. Științific Conf. "Metode matematice de îmbunătățire a eficienței rețelelor de telecomunicații". Grodno, 2007. P. 170-174.

Lopukhova C.B. Studiul metodei asimptotice ale fluxului semi-Markovsky a celei de-a treia ordine // mater. Vi internațional. Practică științifică. Conf. "Tehnologii informaționale și modelarea matematică". Tomsk: Publicarea Tom. Universitatea, 2007. Partea 2. P. 30-34.

Poate că va fi util să citiți: