Funcții trigonometrice, proprietățile lor și graficele de prezentare. Graficele funcțiilor trigonometrice - prezentare. Funcții trigonometrice inversă

Slide 6

Funcții trigonometrice cu unghi dublu:

sin 2x \u003d 2sinx cosx cos 2x \u003d cos2x -sin2x tg 2x \u003d 2tg x / (1-tg2x) ctg 2x \u003d ctg2x-1 / (2 ctg x)

Diapozitiv 7

Funcții trigonometrice cu unghi unghi

Adesea sunt utile formule care exprimă puterile păcatului și cosului unui argument simplu prin păcat și cos al unui multiplu, de exemplu: formulele pentru cos2x și sin2x pot fi utilizate pentru a găsi valorile lui T. f. argument pe jumătate

Slide 8

Funcții trigonometrice ale sumei unghiurilor

sin (x + y) \u003d sin x cos y + cos x sin y sin (xy) \u003d sin x cos y - cos x sin y cos (x + y) \u003d cos x cos y - sin x sin y cos (xy) \u003d cos x cos y + sin x sin y

Diapozitiv 9

Pentru valori mari ale argumentului, puteți utiliza așa-numitele formule de reducere care vă permit să exprimați T. f. orice argument prin T. f. argumentul x, care simplifică compilarea tabelelor T. f. și utilizarea lor, precum și a complotului. Aceste formule au forma: în primele trei formule n poate fi orice număr întreg, cu semnul superior corespunzător valorii n \u003d 2k, iar cel inferior - la valoarea n \u003d 2k + 1; în acesta din urmă, n poate fi doar un număr impar, cu semnul superior luat la n \u003d 4k + 1, iar cel inferior la n \u003d 4k - 1.

Slide 10

Cele mai importante formule trigonometrice sunt formulele de adăugare care exprimă T. f. suma sau diferența valorilor argumentului prin T. f. aceste valori: semnele din partea stângă și din dreapta tuturor formulelor sunt consecvente, adică semnul superior (inferior) din stânga corespunde semnului superior (inferior) din dreapta. Din ele, în special, formule pentru T. f. argumente multiple, de exemplu:

Slide 11

Derivații tuturor funcțiilor trigonometrice sunt exprimați în termeni de funcții trigonometrice

Slide 12

Graficul funcției y \u003d sinx este:

Diapozitiv 13

Graficul funcției y \u003d cosx este:

Slide 14

Graficul funcției y \u003d tgx arată astfel:

Slide 15

Graficul funcției y \u003d ctgx arată astfel:

Slide 16

Istoricul apariției funcțiilor trigonometrice

T. f. a apărut pentru prima dată în legătură cu cercetarea în astronomie și geometrie. Raporturile de segmente dintr-un triunghi și un cerc, care sunt în esență un T. f., Se găsesc deja în secolul al III-lea. BC e. în lucrările matematicienilor din Grecia Antică - Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga și altele, Cu toate acestea, aceste relații nu sunt un obiect de cercetare independent pentru ei, astfel încât T. f. ca atare, nu au fost studiați. T. f. au fost considerate inițial ca segmente și în această formă au fost utilizate de Aristarh (sfârșitul IV - a doua jumătate a secolelor al III-lea î.Hr.)

Diapozitiv 17

Hipparchus (sec. II î.Hr.), Menelaus (secolul I d.Hr.) și Ptolemeu (secolul al II-lea d.Hr.) la rezolvarea triunghiurilor sferice. Ptolemeu a compilat primul tabel de coarde pentru unghiuri acute în 30 "cu o precizie de 10-6. Extinderea funcției termice în seria de putere a fost obținută de I. Newton (1669). Teoria funcției termice a fost adusă în forma sa modernă de L. Euler (secolul 18). El deține definiția TF pentru argumente reale și complexe, simbolismul acceptat în prezent, stabilirea unei conexiuni cu funcția exponențială, ortogonalitatea sistemului de păcate și cosinus

Vizualizați toate slide-urile

Funcții trigonometrice

x \u003d cost. Prezentare pe această temă: „Funcții trigonometrice”. Cercul numerelor. Toate numerele cu numitorul 4 corespund coordonatelor carteziene. Exact la semn, în funcție de sfertul în care se află punctul. Sinus, cosinus, tangent și cotangent. Semne de sfert: Proprietăți ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului. Formule trigonometrice de bază. Relația dintre funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric. arc lungime AM - argument numeric, Angle. - Argument unghiular. Valorile funcțiilor trigonometrice. Exerciții de antrenament. Punctul P împarte al treilea trimestru într-un raport de 1: 5. Găsiți lungimea arcului CP, PD, AP. - Funcții trigonometrice.ppt

Exemple de funcții trigonometrice

Funcții trigonometrice. Funcții trigonometrice ale unui unghi acut. Triunghi dreptunghic ABC. Pentru unele unghiuri, se pot înregistra valori exacte. Conectarea funcțiilor trigonometrice cu unghi acut. Funcții trigonometrice cu unghi dublu. Funcții trigonometrice cu unghi dublu. Funcții trigonometrice ale sumei unghiurilor. Puteți utiliza așa-numitele formule de reducere. Cele mai importante formule trigonometrice sunt formulele de adăugare. Derivați ai tuturor funcțiilor trigonometrice. Graficul funcției y \u003d sinx. Grafic funcțional y \u003d cosx. Graficul funcției y \u003d tgx. - Exemple de funcții trigonometrice.ppt

Funcții trigonometrice de bază

Funcții trigonometrice. Model matematic. Determinarea egalității și a ciudății unei funcții. Domeniu. Ansamblul valorilor funcțiilor trigonometrice. Găsiți sfera funcției. Zona de definire a funcției. Setul de valori ale funcției. Periodicitate. Care funcție este uniformă. Funcția g (x). Valoare. Perioada pozitivă. Proprietățile funcției. Grafic funcțional. Proprietățile funcției y \u003d sin x. Puncte. X valori. Lacunele. Gama de valori. Diagramați funcția. Proprietățile funcției y \u003d tg (x). Funcția y \u003d tg (x). Găsiți sfera de aplicare. Utilizați o formulă pentru a defini o funcție. - Funcții trigonometrice de bază.ppt

Algebra "Funcții trigonometrice"

Un ghid spre algebră și începuturile analizei. Conţinut. Trigonometrie. Sinusul și cosinusul. Tangent și Cotangent. Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Funcții trigonometrice ale unui argument unghiular. Formule de turnare. Tabelul valorilor funcțiilor trigonometrice ale unor unghiuri. Formule de transformare a funcțiilor trigonometrice. Formule pentru transformarea unui produs al funcțiilor trigonometrice într-o sumă. Convertirea sumelor funcțiilor trigonometrice în produse. Formula unghiului complementar. Arcsinus. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Ecuații trigonometrice omogene. - Algebra „Funcții trigonometrice” .ppt

Proprietățile funcțiilor trigonometrice

Proprietățile funcțiilor trigonometrice. Cafenele matematice. Cuvinte încrucișate. Definirea fiecărei proprietăți a unei funcții. Exercițiu pentru ochi. Citiți graficul funcției. Citirea graficului unei funcții. Educație fizică. Enumerați proprietățile. Sarcina. - Proprietățile funcțiilor trigonometrice.ppt

Funcțiile trigonometrice și proprietățile acestora

Care sunt asemănările și diferențele dintre funcțiile trigonometrice? Întrebare problemă: Proiect educațional pe această temă: Tu, eu și trigonometrie. Funcții trigonometrice. Definiție. Funcții trigonometrice Cercul de număr. Ecuația cercului de numere: x2 + y2 \u003d 1. Mișcarea de-a lungul cercului de număr este în sens invers acelor de ceasornic. Funcții trigonometrice Sinus și cosinus. Funcții trigonometrice tangente și cotangente. Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Funcții trigonometrice Funcția y \u003d sin x. Linia care servește ca grafic al funcției y \u003d sin x este numită sinusoidă. - Funcții trigonometrice și proprietățile acestora.ppt

Funcții trigonometrice unghiulare

Valorile funcțiilor trigonometrice ale argumentului unghiular. Rezumă și sistematizează materialul educațional pe această temă. Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Cosinusul unghiului A (cos A) este abscisa (x) a punctului. Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor cercului unitar. Valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor de bază. Valorile funcțiilor trigonometrice ale altor colțuri ale tabelului. Semne ale funcțiilor trigonometrice în sferturile cercului unitar. Formule de turnare. Sarcina. Muncă independentă. - Funcții trigonometrice cu argumente unghiulare.ppt

Grafice funcționale trigonometrice

Grafice funcționale trigonometrice. Funcții trigonometrice. Graficul funcției y \u003d sin x este un sinusoid. y \u003d sin x. Proprietățile funcției y \u003d sin x. y \u003d sin x. Proprietățile funcției y \u003d sin x. 6. Intervalele de monotonie: funcția crește la intervale de formă: [-p / 2 + 2pn; p / 2 + 2pn], n? z. Intervalele monotonice: funcția scade la intervale de formă:, n? Z. Proprietățile funcției y \u003d sin x. 7. Puncte de extrema: Xmax \u003d p / 2 + 2pn, n? Z Xmin \u003d -p / 2 + 2pn, n? Z. 8. Gama de valori: E (y) \u003d [-1; 1]. Conversia graficelor funcțiilor trigonometrice. Diagramați funcția y \u003d sin (x + p / 4). - Graficele funcțiilor trigonometrice.ppt

Conversia parcelei trigonometrice

Conversia graficelor funcțiilor trigonometrice. Caracteristic transformărilor grafice ale funcțiilor. Stretching. Grafic funcțional. Comprimare. Graficul funcției y \u003d f (x). Transfer paralel. Graficul funcției y \u003d f (x) + m. Transfer. Y \u003d f (x). Graficul funcției y \u003d f (| x |). O parte din program. Graficul funcției y \u003d | f (x) |. Parcele din programul rezultat. Graficul funcției y \u003d | f (| x |) |. Caracteristic graficului de oscilație armonic. Funcția sinală. Funcția cosinului. Funcția tangentă. Funcția cotangentă. - Convertiți ploturi trigonometrice.ppt

Trasarea funcțiilor trigonometrice

Convertirea graficelor. Formarea cunoștințelor Aplicația MS Excel. Graficele funcționale. Trasarea unei funcții. Transfer de diagramă paralel. Construirea unui grafic. Deplasarea graficului de-a lungul axei Ox. Y2 \u003d sinx + 2.Y1 \u003d simple. Y \u003d păcat (x + 1,5) +2. Constructie. Y \u003d af (x). Y2 \u003d 2sinx. Y \u003d 2sin (x + 1,5) + 2. Construiți-vă propriile grafice. Y \u003d sin (x - 0,75) + 2,Y \u003d 2,5cos (x + 1,5) -1. Graficul funcției y \u003d f (x + t) + m. - Trasarea funcțiilor trigonometrice.ppt

Convertirea graficelor de funcții trigonometrice

Prezentarea lecției „Graficele funcțiilor trigonometrice. Convertirea graficelor ”. Echipamentul lecției: computer, proiector, ecran. Obiective: generalizarea cunoștințelor și abilităților. Dezvoltați capacitatea de a observa, compara, generaliza. Cultivați activitatea cognitivă, perseverența în atingerea obiectivelor. Cuvânt introductiv al profesorului. Să aruncăm o privire mai atentă la graficele funcțiilor trigonometrice. "Graficele funcțiilor trigonometrice". Prezentare generală a funcțiilor trigonometrice. Y \u003d sinx Y \u003d cosx. Primul student. 1. Funcția sinelui. 2. Funcția de cozină. Student al doilea. Prezentare generală a funcțiilor trigonometrice. y \u003d tgx y \u003d ctgx. - Conversia graficelor funcțiilor trigonometrice .ppt

Funcția Y sinx

Proprietățile și graficul funcției SINUS. Încălzire orală. cos90 °. sin90 °. păcat (? / 4). cos180 °. sin270 °. păcat (? / 3). cos (? / 6). cos360 °. ctg (? / 6). tg (? / 4). păcat (3? / 2). cos (2?). cos (-? / 2). cos (? / 3). cos (??). Numiți funcțiile ale căror grafice sunt prezentate în figură. y \u003d cosx. Plasarea y \u003d sin x. y \u003d \u003d sinx. P - șase celule. Diagramați funcția y \u003d sinx folosind cercul trigonometric. P - trei celule. Creați un șablon pentru graficul funcției y \u003d sinx. Axa sinusală. sin0 \u003d 0. sinp \u003d 0. sin (-p) \u003d 0. Proprietăți de bază ale funcției y \u003d sinx. Domeniu. - Setul R al tuturor numerelor reale. - Funcție și sinx.pptx

Funcția y \u003d cos x

Funcția y \u003d cos x. Trasarea funcției y \u003d cos x. Construirea unui grafic. Cum se utilizează periodicitatea și paritatea atunci când se desenează. Să găsim câteva puncte pentru complot. Să extindem graficul rezultat pe întreaga linie numerică. Grafic funcțional. Cum să găsiți sfera de aplicare. Domeniu. O mulțime de semnificații. Periodicitate. Chiar ciudat. Crește, scade. Funcții zero, valori pozitive și negative. Proprietățile funcției y \u003d cos x. Transformarea graficului funcției y \u003d cos x. Y \u003d cos x + A. Y \u003d cos x + A (proprietăți). Y \u003d k cos x. Y \u003d kcos x (proprietăți). - Funcția y \u003d cos x.ppt

Funcția tangentă

Proprietățile funcției y \u003d tg x și graficul acesteia. Obiectivele lecției. Regiune definiții. Funcția y \u003d tg x este în creștere. Trasarea funcției y \u003d tg x. Proprietățile funcției y \u003d tg x. Funcția y \u003d tgx nu este definită. Setul de valori ale funcției. Găsiți toate rădăcinile ecuației. Găsiți toate soluțiile la inegalitate. - funcție tangentă.ppt

Funcții tangente și cotangente

Proprietățile funcției. Funcția y \u003d tgx. Programa. Fracțiune. Construirea unui grafic. Proprietăți de bază. Valoare. Rădăcinile ecuației. Soluții. Numere. Proprietățile funcției y \u003d tgx. y \u003d ctgx. Proprietățile de bază ale funcției. Grafic funcțional y \u003d ctgx. - Funcții tangente și cotangente.ppt

ArcFunctions

Funcții trigonometrice inversă. Funcţie. Egalitate. Funcții trigonometrice. Domeniu. Zona de definire a funcției. Definiție. Arccos t. Arctg t. Arcctg t \u003d a. Definiții. Gama de valori. Numeroase numere reale. Y \u003d arcctgx. Arccosx. Expresie. Găsiți valorile expresiilor. Arctgx. Proprietățile funcțiilor arcului. Metoda grafică pentru rezolvarea ecuațiilor. Metoda funcțional-grafică pentru rezolvarea ecuațiilor. - ArcFunctions.ppt

Funcții trigonometrice inversă

Funcții trigonometrice inversă. Din istoricul funcțiilor trigonometrice. Grecia Antică, secolul III î.Hr. e. Euclid, Apolonius din Perga. Rapoarte laterale într-un triunghi dreptunghic. O.K. 190 î.Hr. e Hipparchus din Nicea. Abu al-Waf a introdus funcțiile trigonometrice tangentă și cotangentă. Karl Scherfer a introdus notația modernă pentru funcțiile trigonometrice inversă. Y \u003d arcsinx este strict crescător. Proprietățile funcției y \u003d arcsin x. Arccosina unui număr m este un astfel de unghi x pentru care: Funcția y \u003d arccosx este strict în scădere. Proprietățile funcției y \u003d arccos x. - Funcții trigonometrice inversă.ppt

Proprietățile funcțiilor trigonometrice inversă

Curs electiv în matematică. Funcții trigonometrice inversă. Rezolvarea ecuațiilor. Muncă de cercetare. Calculati. Exerciții orale. Precizați sfera funcției. Precizați intervalul de valori ale funcției. Găsiți sensul expresiei. Decizie. Să rezolvăm sistemul de ecuații. Termen. Ecuația inițială. Tripla satisface ecuația inițială. Reiterarea. Funcții arc. Lucrând în grup. Rezolvați ecuațiile. -

Cuprins 1. Diapozitiv de introducere 2. Diapozitiv de învățare 3. Etapele diapozitivei de învățare 4. Grupuri de funcții diapozitive 5. Definiția și graficul diapozitivului sinusoidal 6. Definiția și graficul diapozitivului cosinus 7. Definiția și graficul diapozitivului tangent 8. Definirea și graficul diapozitivului cotangent 9. Inversarea a trei funcții diapozitive 10. Formule de bază diapozitive 11. Înțelesul diapozitivului trigonometriei 12. Literatura folosită diapozitiv 13. Autor și compilator al diapozitivei

În cele mai vechi timpuri, trigonometria a apărut în legătură cu nevoile astronomiei, ale sondajului și ale construcției, adică a fost de natură pur geometrică și a reprezentat în principal „calculul acordurilor”. De-a lungul timpului, unele momente analitice au început să fie întrerupte în el. În prima jumătate a secolului al XVIII-lea, a avut loc o schimbare accentuată, după care trigonometria a luat o nouă direcție și s-a îndreptat spre analiza matematică. În acest moment, dependențele trigonometrice au început să fie considerate funcții. Acest lucru este de interes nu numai matematic și istoric, ci și metodologic și pedagogic. În cele mai vechi timpuri, trigonometria a apărut în legătură cu nevoile astronomiei, ale sondajului și ale construcției, adică a fost de natură pur geometrică și a reprezentat în principal „calculul acordurilor”. De-a lungul timpului, unele momente analitice au început să fie întrerupte în el. În prima jumătate a secolului al XVIII-lea, a avut loc o schimbare accentuată, după care trigonometria a luat o nouă direcție și s-a îndreptat spre analiza matematică. În acest moment, dependențele trigonometrice au început să fie considerate funcții. Acest lucru este de interes nu numai matematic și istoric, ci și metodologic și pedagogic.

În prezent, se acordă multă atenție studierii funcțiilor trigonometrice tocmai ca funcții ale unui argument numeric în cursul școlar al algebrei și începuturile analizei. Există mai multe abordări diferite pentru predarea acestui subiect într-un curs școlar, iar un profesor, mai ales un începător, se poate confunda cu ușurință despre ce abordare este cea mai potrivită. Dar funcțiile trigonometrice sunt mijloacele cele mai convenabile și vizuale pentru studierea tuturor proprietăților funcțiilor (înainte de a utiliza derivatul) și, mai ales, o astfel de proprietate a multor procese naturale precum periodicitatea. Prin urmare, studiul lor ar trebui să fie acordat o atenție deosebită.

În plus, apar mari dificultăți în studierea subiectului „Funcții trigonometrice” în cursul școlar, datorită discrepanței dintre o cantitate suficient de mare de conținut și numărul relativ mic de ore alocate pentru studiul acestui subiect. Astfel, problema acestei lucrări de cercetare este necesitatea eliminării acestei discrepanțe printr-o selecție atentă a conținutului și prin dezvoltarea unor metode eficiente de prezentare a acestui material. Obiectul cercetării este procesul de studiere a liniei funcționale în cursul liceului. Obiectul cercetării este metoda de studiu a funcțiilor trigonometrice în cursul de algebră și începutul analizei în clasă.

Funcții trigonometrice Funcțiile trigonometrice sunt funcții matematice ale unui unghi. Ele sunt importante în studiul geometriei, precum și în studiul proceselor periodice. De obicei, funcțiile trigonometrice sunt definite ca raporturile laturilor unui triunghi drept sau lungimile anumitor segmente din cercul unității. Definițiile mai moderne exprimă funcții trigonometrice în ceea ce privește sumele de serii sau ca soluții ale unor ecuații diferențiale, ceea ce face posibilă extinderea domeniului de definire a acestor funcții la numere reale arbitrare și chiar la numere complexe.

În studiul funcțiilor trigonometrice se pot distinge următoarele etape: I. Prima cunoaștere a funcțiilor trigonometrice a unui argument unghiular în geometrie. Valoarea argumentului este considerată în interval (0; 90 °). În această etapă, elevii vor învăța că păcatul, cosul, tg și ctg-ul unghiului depind de măsura gradului său, vor face cunoștință cu valorile tabulare, identitatea trigonometrică de bază și unele formule de reducere. II. Generalizarea conceptelor de sine, cosinus, tangent și cotangent pentru unghiuri (0; 180 °). În această etapă, se ia în considerare relația dintre funcțiile trigonometrice și coordonatele unui punct de pe plan, se dovedesc teoreme ale sinelor și cosinusilor și se pune problema rezolvării triunghiurilor folosind relații trigonometrice. III. Introducerea conceptelor de funcții trigonometrice ale unui argument numeric. IV. Sistematizarea și extinderea cunoștințelor despre funcțiile trigonometrice ale unui număr, luarea în considerare a graficelor funcțiilor, cercetarea, inclusiv cu ajutorul unui derivat.

Există mai multe modalități de definire a funcțiilor trigonometrice. Ele pot fi împărțite în două grupuri: analitice și geometrice. 1. Metodele analitice includ definirea funcției y \u003d sin x ca soluție la ecuația diferențială f (x) \u003d - c * f (x) sau ca suma seriei de putere sin x \u003d x - x3 / 3! + X5 / 5! -… 2. Metodele geometrice includ definirea funcțiilor trigonometrice bazate pe proiecții și coordonate ale vectorului radius, determinarea prin raportul de aspect al laturilor unui triunghi unghi drept și determinarea folosind un cerc de numere. În cadrul cursului școlar, preferința metodelor geometrice datorită simplității și clarității acestora.

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Diapozitiv 7

Slide 8

Diapozitiv 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Diapozitiv 13

Slide 14

X y 1 y \u003d cosx Sondaj individual (revizuirea materialelor din ziua precedentă)

Pe site am găsit un material interesant „Modelul bioritmelor” Pentru a construi un model de bioritmuri, trebuie să introduceți data nașterii unei persoane, data numărătoarei invers (ziua, luna, anul) și durata prognozei (numărul de zile). După cum puteți vedea, graficul este un sinusoid.

Pe site am găsit material că traiectoria unui glonț coincide cu un sinusoid. Din figura se vede că proiecțiile vectorilor de pe axele X și Y sunt, respectiv, υ x \u003d υ o cos α υ y \u003d υ o sin α

Pe site math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass / grafiki_trigon / există material despre rotația la 360 ° a Pământului în 365 de zile. Interesant este că acest lucru poate fi reprezentat ca un sinusoid. math.ru/load/shkolnaja_matematika/alge bra_10_klass / grafiki_trigon /

În lecțiile de fizică, am studiat mișcarea oscilatorie a unui pendul. Pe site am găsit material pe care pendulul oscilează de-a lungul unei curbe numite cosinus

Anatole France Învățarea poate fi doar distractivă ... Pentru a digera cunoștințele, trebuie să o absorbiți cu pofta de mâncare. Masa de pranz.

Proprietățile funcției 1. D (tan х) \u003d R, cu excepția х \u003d П / 2 + Пn, 2. E (tan х) \u003d R. 3. O funcție periodică cu perioada principală T \u003d П. 4. Funcție ciudată. 5. Crește pe întregul domeniu al definiției 6. Zero-uri ale funcției: y (x) \u003d 0 pentru x \u003d Pn, 7. Nu sunt delimitate de sus sau de jos. 8. Nu există nici cea mai mare sau cea mai mică valoare. Graficul funcției y \u003d tg x.

Proprietățile funcției y \u003d ctg x 1. D (ctg x) \u003d R, cu excepția lui x \u003d Pn, 2. E (ctg x) \u003d R. 3. O funcție periodică cu perioada principală T \u003d P. 4. Funcție ciudată. 5. Scade pe întregul domeniu al definiției 6. Zero-uri ale funcției: y (x) \u003d 0 pentru x \u003d / 2 + n, 7. Nu sunt delimitate mai sus sau mai jos. 8. Nu există nici cea mai mare sau cea mai mică valoare.

Ar putea fi util să citiți:

• Bagiev gl tarasevich vm marketing;
• Forme și metode de lucru ale instituțiilor culturale de tipul clubului Conceptul de activități de club și club;
• Canale de distribuție pentru servicii hoteliere;
• Ghid de profesie pro și contra;
• Specificul marketingului în turism;
• Scopul și amenajarea magazinului de cofetărie;
• Tehnologie pentru pregătirea și desfășurarea unei prezentări turistice;
• Structura organizatorică a unui hotel modern;