งานจากคอลเลกชัน Kuznetsov L.A. การศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน Y x 2 x 1 อย่างสมบูรณ์ตรวจสอบฟังก์ชัน

Rehebnik Kuznetsov
แผนภูมิ III

ภารกิจที่ 7 ทำการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดและสร้างกราฟ

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ก่อนที่คุณจะเริ่มดาวน์โหลดตัวเลือกของคุณให้ลองแก้ปัญหาตามตัวอย่างด้านล่างสำหรับตัวเลือกที่ 3 ตัวเลือกบางตัวถูกเก็บถาวรในรูปแบบ. rar

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 ทำการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดและสร้างกราฟ

การตัดสินใจ.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) ขอบเขต: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp หรือ & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp เช่น & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
ดังนั้น: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) ไม่มีจุดตัดกับแกน Ox แท้จริงแล้วสมการ & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ไม่มีทางแก้
ไม่มีจุดตัดกับแกน Oy เนื่องจาก & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) ฟังก์ชันนี้ไม่มีคู่หรือคี่ ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับการกำหนด ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิดอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น
.
เราเห็นว่า & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp และ & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) ฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมน
.

; .

; .
ดังนั้นจุด & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp จึงเป็นจุดพักประเภทที่สอง (การแบ่งแบบไม่มีที่สิ้นสุด)

5) เส้นกำกับแนวตั้ง: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

ค้นหาเส้นกำกับแนวเฉียง & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ที่นี่

;
.
ดังนั้นเราจึงมีเส้นกำกับแนวนอน: y \u003d 0... ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง อนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
.
และนั่นคือเหตุผล
.
หาจุดหยุดนิ่งโดยที่อนุพันธ์เป็นศูนย์นั่นคือ
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) หาอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสอง:
.
และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อมั่นตั้งแต่นั้นมา

ในบางครั้งฐานข้อมูลในตัวของใบรับรองสำหรับ SSL ใน TheBat (ด้วยเหตุผลบางประการ) หยุดทำงานอย่างถูกต้อง

เมื่อตรวจสอบโพสต์ข้อผิดพลาดจะปรากฏขึ้น:

ใบรับรอง CA ที่ไม่รู้จัก
เซิร์ฟเวอร์ไม่แสดงใบรับรองหลักในเซสชันและไม่พบใบรับรองหลักที่เกี่ยวข้องในสมุดรายชื่อ
การเชื่อมต่อนี้ต้องไม่เป็นความลับ ยินดี
ติดต่อผู้ดูแลเซิร์ฟเวอร์ของคุณ

และมีตัวเลือกคำตอบ - ใช่ / ไม่ใช่ และทุกครั้งที่คุณถอดจดหมาย

การตัดสินใจ

ในกรณีนี้คุณต้องแทนที่มาตรฐานการใช้งาน S / MIME และ TLS ด้วย Microsoft CryptoAPI ใน TheBat!

เนื่องจากฉันต้องการรวมไฟล์ทั้งหมดเป็นไฟล์เดียวก่อนอื่นฉันจึงแปลงไฟล์ doc ทั้งหมดเป็นไฟล์ pdf ไฟล์เดียว (โดยใช้โปรแกรม Acrobat) จากนั้นแปลงไฟล์เป็น fb2 ผ่านตัวแปลงออนไลน์ คุณยังสามารถแปลงไฟล์แยกกัน รูปแบบสามารถเป็น (source) และ doc และ jpg หรือแม้แต่ zip archive ก็ได้!

ชื่อไซต์สอดคล้องกับสาระสำคัญ :) Photoshop ออนไลน์

อัปเดตพฤษภาคม 2558

ฉันพบเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมอีกแห่ง! สะดวกและใช้งานได้ดียิ่งขึ้นสำหรับการสร้างภาพต่อกันตามอำเภอใจ! เว็บไซต์นี้คือ http://www.fotor.com/en/collage/ ใช้เพื่อสุขภาพของคุณ และฉันจะใช้มันเอง

ต้องเผชิญกับชีวิตของฉันด้วยการซ่อมแซมเตาไฟฟ้า ฉันได้ทำอะไรมากมายเรียนรู้มากมาย แต่อย่างใดฉันก็ไม่ค่อยมีส่วนเกี่ยวข้องกับกระเบื้อง จำเป็นต้องเปลี่ยนหน้าสัมผัสบนตัวควบคุมและหัวเผา คำถามเกิดขึ้น - จะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของเตาบนเตาไฟฟ้าได้อย่างไร?

คำตอบนั้นง่ายมาก คุณไม่จำเป็นต้องวัดอะไรคุณสามารถกำหนดขนาดที่คุณต้องการได้อย่างใจเย็น

เตาที่เล็กที่สุดคือ 145 มิลลิเมตร (14.5 เซนติเมตร)

แผ่นความร้อนขนาดกลาง คือ 180 มิลลิเมตร (18 เซนติเมตร)

และในที่สุด เตาขนาดใหญ่ คือ 225 มิลลิเมตร (22.5 เซนติเมตร)

ก็เพียงพอที่จะกำหนดขนาดด้วยตาและเข้าใจว่าคุณต้องใช้หัวเผาขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด เมื่อฉันไม่รู้ตัวฉันก็ทะยานไปกับมิติเหล่านี้ฉันไม่รู้ว่าจะวัดอย่างไรขอบไหนที่จะนำทาง ฯลฯ ตอนนี้ฉันฉลาดแล้ว :) ฉันหวังว่าฉันจะช่วยคุณด้วย!

ในชีวิตของฉันฉันต้องเผชิญกับงานเช่นนี้ ฉันคิดว่าฉันไม่ได้เป็นคนเดียว

หากในปัญหาจำเป็นต้องทำการศึกษาฟังก์ชัน f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 อย่างสมบูรณ์ด้วยการสร้างกราฟเราจะพิจารณาหลักการนี้โดยละเอียด

ในการแก้ปัญหาประเภทนี้เราควรใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก อัลกอริทึมการวิจัยประกอบด้วยขั้นตอน:

การค้นหาขอบเขต

เนื่องจากการวิจัยดำเนินการเกี่ยวกับโดเมนของนิยามฟังก์ชันจึงจำเป็นต้องเริ่มจากขั้นตอนนี้

ตัวอย่าง 1

ตัวอย่างที่ให้ถือว่าการหาศูนย์ของตัวส่วนเพื่อแยกออกจาก ODZ

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

ด้วยเหตุนี้คุณจะได้รับรากลอการิทึมและอื่น ๆ จากนั้น ODV สามารถหารูทของระดับคู่ของชนิด g (x) 4 โดยอสมการ g (x) ≥ 0 สำหรับลอการิทึมบันทึก a g (x) โดยอสมการ g (x)\u003e 0

การตรวจสอบขอบเขตของ ODZ และการค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง

มีเส้นกำกับแนวตั้งบนขอบเขตของฟังก์ชันเมื่อขีด จำกัด ด้านเดียวที่จุดดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่าง 2

ตัวอย่างเช่นพิจารณาจุดขอบเท่ากับ x \u003d ± 1 2

จากนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาขีด จำกัด ด้านเดียว จากนั้นเราจะได้สิ่งนั้น: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) - 0 \u003d + ∞ลิม x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) (+ 0) \u003d - ∞ลิม x → 1 2 - 0 f (x) \u003d ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) 2 \u003d - ∞ลิม x → 1 2 - 0 f (x) \u003d ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) 2 \u003d + ∞

จากที่นี่จะเห็นได้ว่าขีด จำกัด ด้านเดียวนั้นไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x \u003d ± 1 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

การตรวจสอบฟังก์ชันและสำหรับความเท่าเทียมกันหรือคี่

เมื่อเงื่อนไข y (- x) \u003d y (x) เป็นที่พอใจฟังก์ชันจะถือว่าเป็นเลขคู่ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่ากราฟตั้งอยู่ในแนวสมมาตรเทียบกับ O y เมื่อเงื่อนไข y (- x) \u003d - y (x) เป็นที่พอใจฟังก์ชันจะถือว่าเป็นคี่ นั่นหมายความว่าความสมมาตรสัมพันธ์กับจุดกำเนิด หากไม่พอใจอย่างน้อยหนึ่งความไม่เท่าเทียมกันเราจะได้รับฟังก์ชันทั่วไป

ความเท่าเทียมกัน y (- x) \u003d y (x) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เมื่อสร้างจำเป็นต้องคำนึงว่าจะมีความสมมาตรเกี่ยวกับ O y

ในการแก้อสมการจะใช้ช่วงเวลาของการเพิ่มและลดกับเงื่อนไข f "(x) ≥ 0 และ f" (x) ≤ 0 ตามลำดับ

คำจำกัดความ 1

จุดนิ่ง- นี่คือจุดที่เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นศูนย์

จุดวิกฤต คือจุดภายในจากโดเมนที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่

เมื่อตัดสินใจจำเป็นต้องคำนึงถึงหมายเหตุต่อไปนี้:

  • ด้วยช่วงเวลาที่มีอยู่ของการเพิ่มและลดความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "(x)\u003e 0 จุดวิกฤตจะไม่รวมอยู่ในโซลูชัน
  • จุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยไม่มีอนุพันธ์ จำกัด จะต้องรวมอยู่ในช่วงเวลาของการเพิ่มและลด (เช่น y \u003d x 3 โดยที่จุด x \u003d 0 ทำให้ฟังก์ชันแน่นอนอนุพันธ์มีค่าเป็นอนันต์ ณ จุดนี้ y "\u003d 1 3 x 2 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 รวมอยู่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น);
  • เพื่อหลีกเลี่ยงการโต้เถียงขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการ

การรวมจุดวิกฤตในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงหากตรงตามโดเมนของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

สำหรับ การกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันนั้นจำเป็นต้องหา:

  • อนุพันธ์;
  • จุดวิกฤต
  • แบ่งพื้นที่นิยามโดยใช้จุดวิกฤตเป็นช่วงเวลา
  • กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลาโดยที่ + คือการเพิ่มขึ้นและ - คือการลดลง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์บนโดเมน f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

การตัดสินใจ

ในการแก้ปัญหาคุณต้อง:

  • ค้นหาจุดหยุดนิ่งตัวอย่างนี้มี x \u003d 0;
  • หาศูนย์ของตัวส่วนตัวอย่างรับค่าเป็นศูนย์ที่ x \u003d ± 1 2

เราแสดงจุดบนแกนตัวเลขเพื่อกำหนดอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะใช้จุดใดก็ได้จากช่วงเวลาและทำการคำนวณ หากผลลัพธ์เป็นบวกเราจะพล็อต + บนกราฟซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและ - หมายถึงการลดลง

ตัวอย่างเช่น f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกทางซ้ายจะมีเครื่องหมาย + ให้พิจารณาในบรรทัดตัวเลข

ตอบ:

  • ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา - ∞; - 1 2 และ (- 1 2; 0];
  • มีการลดลงของช่วงเวลา [0; 1 2) และ 1 2; + ∞.

ในแผนภาพการใช้ + และ - แสดงถึงความเป็นบวกและการปฏิเสธของฟังก์ชันและลูกศร - ลดลงและเพิ่มขึ้น

จุดสุดยอดของฟังก์ชันคือจุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและใช้เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 4

ถ้าเราพิจารณาตัวอย่างโดยที่ x \u003d 0 ค่าของฟังก์ชันในนั้นจะเท่ากับ f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 เมื่อสัญลักษณ์ของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก + เป็น - และผ่านจุด x \u003d 0 ดังนั้นจุดที่มีพิกัด (0; 0) จะถือว่าเป็นจุดสูงสุด เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + เราจะได้รับแต้มขั้นต่ำ

ความนูนและความเว้าถูกกำหนดโดยการแก้อสมการของรูปแบบ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 โดยทั่วไปแล้วชื่อนี้จะใช้ความนูนลงแทนที่จะเป็นส่วนเว้าและนูนขึ้นแทนที่จะเป็นความนูน

คำจำกัดความ 3

สำหรับ การกำหนดช่วงเวลาของความเว้าและความนูน มันจำเป็น:

  • หาอนุพันธ์อันดับสอง
  • หาศูนย์ของฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสอง
  • แบ่งพื้นที่นิยามด้วยจุดที่ปรากฏออกเป็นช่วง ๆ
  • กำหนดสัญลักษณ์ของช่องว่าง

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองจากโดเมน

การตัดสินใจ

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

เราหาเลขศูนย์ของตัวเศษและตัวส่วนโดยที่ในตัวอย่างของเราเรามีเลขศูนย์ของตัวส่วน x \u003d ± 1 2

ตอนนี้คุณต้องพล็อตจุดบนแกนตัวเลขและกำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ที่สองจากแต่ละช่วงเวลา เราได้รับสิ่งนั้น

ตอบ:

  • ฟังก์ชันนูนจากช่วงเวลา - 1 2; 12;
  • ฟังก์ชั่นเว้าจากช่วงเวลา - ∞; - 1 2 และ 1 2; + ∞.

คำจำกัดความ 4

จุดสะท้อน เป็นจุดของรูปแบบ x 0; f (x 0) เมื่อมันมีแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันเมื่อมันผ่าน x 0 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเคลื่อนผ่านและเปลี่ยนเครื่องหมายและที่จุดนั้นเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ คะแนนทั้งหมดถือเป็นโดเมนของฟังก์ชัน

ในตัวอย่างจะเห็นว่าไม่มีจุดผันแปรเนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองจะเปลี่ยนเครื่องหมายในขณะที่ผ่านจุด x \u003d ± 1 2 ในทางกลับกันพวกเขาจะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

การค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่อินฟินิตี้คุณต้องมองหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

คำจำกัดความ 5

เส้นกำกับแนวเฉียงแสดงโดยใช้เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y \u003d k x + b โดยที่ k \u003d lim x →∞ f (x) x และ b \u003d lim x →∞ f (x) - k x

สำหรับ k \u003d 0 และ b ไม่เท่ากับอินฟินิตี้เราจะพบว่าเส้นกำกับแนวเฉียงกลายเป็น แนวนอน.

กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นกำกับคือเส้นที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อินฟินิตี้ ซึ่งจะช่วยในการพล็อตฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว

หากไม่มีเส้นกำกับ แต่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ infinities ทั้งสองจำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ infinities เหล่านี้เพื่อทำความเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะทำงานอย่างไร

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างเช่นพิจารณาว่า

k \u003d ลิม x →∞ f (x) x \u003d ลิม x →∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d ลิม x →∞ (f (x) - kx) \u003d ลิม x →∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

คือเส้นกำกับแนวนอน หลังจากตรวจสอบฟังก์ชันแล้วคุณสามารถเริ่มสร้างได้

การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดกลาง

เพื่อให้การพล็อตแม่นยำที่สุดขอแนะนำให้หาค่าหลาย ๆ ค่าของฟังก์ชันที่จุดกลาง

ตัวอย่างที่ 7

จากตัวอย่างที่เราได้พิจารณาแล้วจำเป็นต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 เนื่องจากฟังก์ชันมีค่าเท่ากันเราจึงได้ค่าตรงกับค่า ณ จุดเหล่านี้นั่นคือเราได้ x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4

มาเขียนและแก้ปัญหา:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0.27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0.45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0.08

ในการกำหนด maxima และ minima ของฟังก์ชันจุดผันแปรจุดกลางจำเป็นต้องพล็อตเส้นกำกับ เพื่อความสะดวกในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มลดความนูนความเว้าจะได้รับการแก้ไข พิจารณาในรูปด้านล่าง

จำเป็นต้องวาดเส้นกราฟผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใกล้เส้นกำกับโดยตามลูกศร

นี่เป็นการสรุปการสำรวจฟังก์ชันทั้งหมด มีหลายกรณีของการสร้างฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างที่ใช้การแปลงทางเรขาคณิต

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความโปรดเลือกและกด Ctrl + Enter

 

การอ่านอาจเป็นประโยชน์: