Graficul funcțiilor. Schiță de grafică a funcției (pe exemplul unei funcții fracționate-quadratice) Avantajele clădirilor online

Construiți o funcție

Vă aducem atenția un serviciu pentru a părăsi programele de funcții online, toate drepturile la care fac parte companii Desmos.. Pentru a introduce funcții, utilizați coloana din stânga. Puteți introduce manual fie folosind o tastatură virtuală în partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu un program, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Avantajele programelor de construcție online

Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
Construirea de grafice foarte complexe
Construcția de grafice specificate implicit (de exemplu, elipse x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
Abilitatea de a salva grafice și de a obține un link pe ele care devine disponibil tuturor pe Internet.
Managementul scalei, culoarea liniei
Abilitatea de a construi grafice cu puncte, utilizarea constantelor
Clădirea simultană mai multe grafice de funcții
Construcția de grafice în sistemul de coordonate polar (Utilizare R și θ (\\ ETA))

Cu noi sunt ușor de construit grafice de complexitate variabilă. Clădirea este făcută instantaneu. Serviciul este în cerere pentru găsirea punctelor de intersecție a funcțiilor, pentru imaginea graficelor pentru a le deplasa în continuare la cuvânt, ca ilustrații la rezolvarea sarcinilor, pentru a analiza caracteristicile comportamentale ale funcțiilor funcțiilor. Browserul optim pentru lucrul cu programele de pe această pagină este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, corectitudinea muncii nu este garantată.

Selectați sistemul de coordonate dreptunghiulare din plan și vom amâna valorile valorilor argumentului de pe axa Abscisa h.și pe axa ordonată - valorile funcției y \u003d f (x).

Graficul grafic y \u003d f (x) Setul de toate punctele în care abscissul aparțin funcției de determinare a funcției, iar ordnele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y \u003d f (x) este setul de toate punctele din plan, coordonate x, w. care satisface relația y \u003d f (x).

În fig. 45 și 46 sunt grafice de funcții. y \u003d 2x + 1 și y \u003d x 2 - 2x.

Strict vorbind, graficul funcției trebuie distins (definiția matematică exactă a cărui dată) și curba trasă, care dă întotdeauna o schiță mai mult sau mai puțin precisă a programului (și apoi, de regulă, nu Întregul program, dar numai părțile sale situate în părțile finale ale avionului). În viitor, totuși, vom vorbi, de obicei, "program" și nu "schița diagramei".

Folosind graficul, puteți găsi valoarea funcției la punct. Este dacă punctul x \u003d A. aparține zonei de definiție a câmpului y \u003d f (x)apoi pentru a găsi un număr f (a) (adică valorile funcției la punct x \u003d A.) Ar trebui să faceți acest lucru. Nevoie prin punctul abscissa x \u003d A. Petreceți o axă dreaptă și paralelă a ordonată; Această linie dreaptă va trece graficul funcției. y \u003d f (x) La un moment dat; ordonarea acestui punct și voință, în virtutea programului, este egală cu f (a) (Fig.47).

De exemplu, pentru funcție f (x) \u003d x 2 - 2x Folosind graficul (fig.46), găsim F (-1) \u003d 3, F (0) \u003d 0, F (1) \u003d -L, F (2) \u003d 0 etc.

Graficul funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile funcției. De exemplu, de la luarea în considerare a fig. 46 Șterge această funcție y \u003d x 2 - 2x ia valori pozitive atunci când h.< 0 si pentru x\u003e 2., negativ - la 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x Acceptă pentru x \u003d 1..

Pentru a construi o funcție de grafic f (x)este necesar să găsiți toate punctele din avion, coordonate h., W. care satisface ecuația y \u003d f (x). În majoritatea cazurilor, este imposibil să faceți acest lucru, deoarece astfel de puncte sunt infinit foarte mult. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a construi un program pentru mai multe puncte. Este argumentul acela h. Apăsați numărul finit de valori - spun, x 1, x 2, x 3, ..., x k și alcătuiesc masa în care sunt incluse valorile selectate ale funcției.

Tabelul arată astfel:

Prin elaborarea unui astfel de tabel, putem schița câteva puncte ale graficelor funcției. y \u003d f (x). Apoi, conectarea acestor puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficelor funcției y \u003d f (x).

Cu toate acestea, ar trebui să rețineți că metoda de construire a unui program pentru mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele prevăzute și comportamentul acesteia în afara segmentului dintre punctele extreme rămâne necunoscut.

Exemplul 1.. Pentru a construi o funcție de grafic y \u003d f (x) Cineva a compilat o masă a valorilor argumentului și funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în fig. 48.

Pe baza localizării acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în figura 48 punctată). Este posibil să se ia în considerare această concluzie fiabilă? Dacă nu există considerații suplimentare care să confirme această concluzie, este puțin probabil să fie fiabilă. de încredere.

Pentru a vă justifica afirmația, ia în considerare funcția

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt doar descrise în tabelul de mai jos. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc linia dreaptă (este prezentată în figura 49). Un alt exemplu este funcția. y \u003d x + l + sinπx; Valorile sale sunt de asemenea descrise deasupra tabelului de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma "pură", metoda de construire a unui program pentru mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a construi un grafic al unei anumite funcții, de regulă, se aplică după cum urmează. În primul rând, proprietățile acestei funcții studiază, cu care puteți construi o schiță de grafică. Apoi, calculând valorile funcției la mai multe puncte (alegerea căreia depinde de proprietățile setate ale funcției), găsiți punctele corespunzătoare ale graficului. Și, în final, prin punctele construite, curba se efectuează utilizând proprietățile acestei funcții.

Unele (cele mai simple și frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță a graficului, vom arăta mai târziu, iar acum vom analiza unele dintre modalitățile utilizate frecvent de a construi grafice.

Funcția de program Y \u003d | F (x) |.

De multe ori trebuie să construiți un grafic al unei funcții y \u003d | f (x)|, unde f (x) -o funcție specificată. Amintiți cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a numărului pe care îl puteți scrie

Aceasta înseamnă că funcția de programare y \u003d | F (x) | pot fi obținute din grafică, funcții y \u003d f (x) După cum urmează: Toate punctele de funcții grafice y \u003d f (x)care sunt ordonate non-negative, ar trebui lăsate neschimbate; Mai mult, în loc de puncte de grafică y \u003d f (x)Având coordonate negative, trebuie să construiți funcția corespunzătoare a programului de funcții y \u003d -f (x) (adică o parte a funcției de programare
y \u003d f (x)care se află sub axa x, ar trebui să fie reflectată simetric față de axa h.).

Exemplul 2. Construiți o funcție diagramă y \u003d | x |.

Luăm un grafic al unei funcții y \u003d x.(Figura 50, a) și o parte din acest program când h.< 0 (situată sub axa h.) reflectă simetric în raport cu axa h.. Ca rezultat, primim programul funcției y \u003d | x | (Fig. 50, b).

Exemplul 3.. Construiți o funcție diagramă y \u003d | x 2 - 2x |.

Mai întâi construiți un program de funcții Y \u003d x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este parabola, ramurile care sunt regizate, vârful pearabol are coordonate (1; -1), graficul său traversează axa abscisă la punctele 0 și 2. în intervalul (0; 2), Funcția are valori negative, deci aceasta este această parte a graficului reflectă simetric față de axa Abscisa. Figura 51 a construit un grafic al funcției y \u003d x 2 -2x |Pe baza funcției de programare y \u003d x 2 - 2x

Funcție grafic y \u003d f (x) + g (x)

Luați în considerare sarcina de a construi un grafic y \u003d f (x) + g (x). Dacă este specificată grafica funcțiilor y \u003d f (x) și y \u003d g (x).

Rețineți că domeniul de determinare a funcției y \u003d | F (x) + g (x) | Este setul tuturor acestor valori x, pentru care sunt definite ambele funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x), adică această zonă de definiție este intersecția zonelor de definiție, Funcțiile F (x) și G (x).

Lăsați punctul (x 0, y 1) I. (x 0, în 2), respectiv aparțin programelor de funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x), adică Y. 1 \u003d F (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Apoi, punctul (x0; y1 + y2) aparține graficului y \u003d f (x) + g (x) (pentru f (x 0) + g (x 0) \u003d y. 1 + y2.) ,. și orice punct al graficelor funcției y \u003d f (x) + g (x) pot fi obținute în acest fel. În consecință, graficul funcției y \u003d f (x) + g (x) pot fi obținute din graficele funcțiilor y \u003d f (x). și y \u003d g (x) înlocuiți fiecare punct ( x n, u 1) funcții grafice y \u003d f (x) Punct (x n, y 1 + y 2), Unde în 2 \u003d g (x n), adică trecerea fiecărui punct ( x n, la 1) Funcția grafică y \u003d f (x) De-a lungul axei w. Prin magnitudine y 1 \u003d g (x n). Acest lucru se adresează doar acestor puncte. h. n pentru care sunt definite ambele funcții y \u003d f (x) și y \u003d g (x).

O astfel de metodă de construire a unei funcții grafice y \u003d f (x) + g (x) se numește adăugarea de grafice de funcții y \u003d f (x)și Y \u003d g (x)

Exemplul 4.. În figura, graficul graficelor este construit un program de funcții
y \u003d x + sinx.

Când construiți un grafic y \u003d x + sinx Am crezut că f (x) \u003d x,dar G (x) \u003d sinx.Pentru a construi un grafic al funcției, alegeți un punct cu Absiss -1,5π, -, -0,5, 0, 0.5 ,,,,,,,,5, 2. Valori f (x) \u003d x, g (x) \u003d sinx, y \u003d x + sinxcalculați în punctele selectate și rezultatele sunt postate în tabel.

În această lecție, considerăm metodologia de construire a unei schițe a funcției funcției, prezentăm exemple clarificatoare.

Subiect: Repetiție

Lecția: Schiță a graficei funcției (pe exemplul unei funcții fracționate-quadratice)

Scopul nostru este de a construi o schiță fracționată-quadratic. De exemplu, vom lua o caracteristică familiară:

O funcție fracționată este setată, în numărator și numitorul căruia există funcții patratice.

Metoda de construire a unei schițe este după cum urmează:

1. Subliniem intervalele alinierii și determinăm fiecare semn de funcție (Figura 1)

Am considerat în detaliu și am aflat că funcția, continuu în OTZ, poate schimba semnul numai atunci când argumentul este tranziția prin rădăcini și punctul de rupere OTZ.

Funcția specificată este continuă în OWZ, subliniem ...

Găsiți rădăcinile:

Subliniem intervalele alinierii. Am găsit rădăcinile funcției și punctul de rupere a zonei de definiție sunt rădăcinile numitorului. Este important să rețineți că în fiecare interval funcția salvează un semn.

Smochin. 1. Funcția intervalelor de semnare

Pentru a determina funcția funcției la fiecare interval, puteți lua orice punct aparținând intervalului, înlocuiți-l funcției și determinați semnul său. De exemplu:

La interval, funcția are un semn plus

La interval, funcția are un semn minus.

În acest avantaj al metodei intervalului: definim un semn într-un singur punct de probă și concluzionăm că funcția va avea același semn pe întregul interval selectat.

Cu toate acestea, puteți seta automat semne, fără a calcula valorile funcției, pentru a face acest lucru, definiți un semn la intervalul extrem și apoi semne alternative.

1. Construiți un program în vecinătatea fiecărei rădăcini. Amintiți-vă că rădăcinile acestei funcții și:

Smochin. 2. Programarea în vecinătatea rădăcinilor

Deoarece la punctul semnului funcției se schimbă de la plus la minus, curba este mai întâi peste axă, apoi trece prin zero și apoi se află sub axa X. La punct, dimpotrivă.

2. Construiți un program în vecinătatea fiecărui decalaj OTZ. Amintiți-vă că rădăcinile numitorului acestei funcții și:

Smochin. 3. Programul funcției în vecinătatea punctelor de rupere OTZ

Când sau Denomoter este aproape egal cu zero, înseamnă că valoarea argumentului tinde la aceste numere, valoarea fracției se străduiește pentru infinit. În acest caz, atunci când argumentul se apropie de primele trei, funcția este pozitivă și tinde la infinit, funcția corectă este negativă și iese din minus infinit. Despre al patrulea dimpotrivă, funcția stângă se străduiește pentru minus infinit, iar dreptul iese din infinit.

Potrivit schiței construite, putem, în unele intervale, ghici natura comportamentului funcției.

Smochin. 4. Schiță de funcții grafice

Luați în considerare următoarea sarcină importantă - pentru a construi o schiță a graficei funcției în vecinătatea punctelor infinit la distanță, adică. Când argumentul tinde să plus sau să minus infinitatea. Termenii permanenți în același timp pot fi neglijați. Avem:

Uneori puteți întâlni o astfel de înregistrare a acestui fapt:

Smochin. 5. Schița graficelor funcționează în vecinătatea punctelor infinit la distanță

Am obținut o natură aproximativă a comportamentului funcției pe toată suprafața definiției, atunci trebuie să specificați construcția utilizând derivatul.

Exemplul 1 - Construiți funcțiile programului de schiță:

Avem trei puncte, când argumentul este mutat prin care funcția poate schimba semnul.

Determinați semnele funcției la fiecare interval. Avem un plus la intervalul extrem de drept, apoi semnează alternativ, deoarece toate rădăcinile au primul grad.

Construiți o schiță de grafică în vecinătatea rădăcinilor și punctelor de rupere OTZ. Avem: Pentru că, în momentul în care funcția de semnare se schimbă de la plus la minus, curba mai întâi este peste axă, apoi trece prin zero și apoi se află sub axa X. Când sau Denomoter este aproape egal cu zero, înseamnă că valoarea argumentului tinde la aceste numere, valoarea fracției se străduiește pentru infinit. În acest caz, atunci când argumentul vine la minus la cele două stânga, funcția este negativă și tinde la minus infinit, funcția potrivită este pozitivă și iese din infinit. Aproximativ două sunt similare.

Găsiți o funcție derivată:

Evident, derivatul este întotdeauna mai mic de zero, prin urmare, funcția scade în toate zonele. Deci, pe site-ul de la minus infinit la minus două, funcția scade de la zero la minus infinit; În zona de la minus doi la zero, funcția scade de la plus infinit la zero; În zona de la zero la două, funcția scade de la zero la minus infinit; Pe secțiunea de la două până la plus infinit, funcția scade de la plus infinit la zero.

Noi ilustrează:

Smochin. 6. Schița funcției grafică pentru exemplu 1

Exemplul 2 - Construiți funcțiile schițului:

Construiți schița grafică a funcției fără a utiliza derivatul.

Mai întâi investigăm funcția specificată:

Avem un singur punct atunci când argumentul se mișcă prin care funcția poate schimba semnul.

Rețineți că funcția specificată este impar.

Determinați semnele funcției la fiecare interval. Avem un plus la intervalul extrem de drept, apoi semnul se schimbă, deoarece rădăcina are primul grad.

Construiți o schiță de grafică în vecinătatea rădăcinii. Avem: Pentru că, în momentul în care semnul funcției se schimbă de la un minus pe un plus, atunci curba este situată mai întâi sub axă, apoi trece prin zero și apoi este situată deasupra axei X.

Acum construim o schiță a funcției funcției în vecinătatea punctelor infinit de la distanță, adică. Când argumentul tinde să plus sau să minus infinitatea. Termenii permanenți în același timp pot fi neglijați. Avem:

După punerea în aplicare a acțiunilor de mai sus, ne imaginăm deja un program al funcției, dar este necesar să o clarificați folosind un derivat.

Găsiți o funcție derivată:

Noi alocăm intervalele alinierii derivatului: la. Ost aici. Astfel, avem trei intervale de semn al derivatului și trei părți ale monotonicității funcției originale. Determinați semnele derivatului la fiecare interval. Cand Derivatul este pozitiv, funcția crește; Când derivatul este negativ, funcția scade. În același timp - punctul este minim, deoarece Derivația modifică semnul de la un minus pe plus; Dimpotrivă, punctul este maxim.

Poate că va fi util să citiți: