การดำเนินการเป็นกลุ่มในชุด หลักสูตรของกลุ่มสมมาตรของการกระทำของกลุ่มรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในชุด

เมื่อคลิกที่ปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร" คุณจะดาวน์โหลดไฟล์ที่ต้องการได้ฟรี
ก่อนดาวน์โหลดไฟล์นี้โปรดจำบทคัดย่อการทดสอบเอกสารภาคนิพนธ์วิทยานิพนธ์บทความและเอกสารอื่น ๆ ที่ไม่มีการอ้างสิทธิ์ในคอมพิวเตอร์ นี่คือผลงานของคุณต้องมีส่วนร่วมในการพัฒนาสังคมและเป็นประโยชน์ต่อผู้คน ค้นหาผลงานเหล่านี้และส่งไปยังฐานความรู้
เราและนักเรียนนักศึกษาปริญญาโทนักวิทยาศาสตร์รุ่นใหม่ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานของพวกเขาจะขอบคุณมาก

หากต้องการดาวน์โหลดที่เก็บถาวรพร้อมเอกสารในฟิลด์ด้านล่างป้อนตัวเลขห้าหลักแล้วคลิกปุ่ม "ดาวน์โหลดที่เก็บถาวร"

เอกสารที่คล้ายกัน

    การพัฒนาแนวคิดนามธรรมสมัยใหม่ของกลุ่ม คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่มที่ไม่มีศักยภาพ จำกัด กลุ่มย่อย Frattini ของกลุ่ม จำกัด นั้นไม่มีจุดเด่น การค้นหาผลิตภัณฑ์โดยตรงของกลุ่มที่ไม่มีจุดเด่น การดำเนินการพีชคณิตไบนารีในชุด

    ภาคนิพนธ์เพิ่มเมื่อ 21 กันยายน 2556

    การประยุกต์ใช้คำศัพท์ของ Burnside ในการแก้ปัญหา Combinatorial วงโคจรของกลุ่มการเปลี่ยนแปลง ความยาววงโคจรของกลุ่มการเปลี่ยนแปลง คำนามของ Burnside ปัญหา Combinatorial “ วิธีการร่อน”. สูตรการรวมและการยกเว้น

    วิทยานิพนธ์เพิ่มเมื่อ 06/14/2007

    ความสามารถในการละลายของกลุ่มที่แยกตัวประกอบได้ด้วยปัจจัยที่สลายตัวได้ คุณสมบัติของกลุ่ม จำกัด ที่เป็นผลคูณของสองกลุ่มกลุ่มหนึ่งคือกลุ่ม Schmidt และอีกกลุ่มย่อยสลายได้ 2 กลุ่ม ผลิตผลของกลุ่ม biprimary และ 2- ย่อยสลายได้ บทพิสูจน์ทฤษฎีบทและอนุพันธ์

    ภาคนิพนธ์เพิ่มเมื่อ 22 กันยายน 2552

    สาระสำคัญของทฤษฎีกลุ่ม บทบาทของแนวคิดนี้ในคณิตศาสตร์ รูปแบบการบันทึกแบบทวีคูณตัวอย่างของกลุ่ม การกำหนดสาระสำคัญของกลุ่มย่อย homomorphisms ของกลุ่ม กลุ่มเมทริกซ์เชิงเส้นที่สมบูรณ์และพิเศษ กลุ่มคลาสสิกขนาดเล็ก

    ภาคนิพนธ์เพิ่มเมื่อ 03/06/2014

    การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการพีชคณิตไบนารี การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน การผสมพื้นฐานอันดับและเชิงเส้นสำหรับระบบเวกเตอร์ หลายรากของพหุนาม การสลายพหุนามเป็นเศษส่วนเบื้องต้น

    ทดสอบเพิ่มเมื่อ 03/25/2014

    การกล่าวถึงครั้งแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การจำแนกรูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทคุณสมบัติทฤษฎีบทเกี่ยวกับการคลี่รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (Cauchy และ Aleksandrov) การสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยใช้วิธีการคลี่และพับกระดาษ

    ภาคนิพนธ์เพิ่ม 01/01/2011

    แนวคิดของสมมาตรตามแนวแกนสะท้อนแสงและการหมุนในเรขาคณิตแบบยุคลิดและในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตัวอย่างของสมมาตรตามแนวแกน ได้แก่ ผีเสื้อเกล็ดหิมะหอไอเฟลพระราชวังใบตำแย การสะท้อนแบบพิเศษรัศมีแกนและสมมาตรของรังสี

    เพิ่มงานนำเสนอเมื่อวันที่ 17 ธันวาคม 2556

กลุ่ม G ทำหน้าที่ (ทางด้านซ้าย) บนชุด X ถ้าองค์ประกอบ gx X ถูกกำหนดให้กับองค์ประกอบใด ๆ g และ x X และ g2 (g1x) \u003d (g2 g1) x และ ex \u003d x สำหรับ x X, g1, g2 G ทั้งหมด

Gx \u003d (gx | g G)

เรียกว่าวงโคจรของธาตุ x วงโคจรของสององค์ประกอบใด ๆ ของ X จะตรงกันหรือไม่ตัดกันเพื่อให้เซต X ถูกแยกออกเป็นวงโคจรที่ไม่ปะติดปะต่อกัน หากมีวงโคจรหนึ่งวง - ทั้งเซต X ดังนั้น C จะถูกกล่าวว่าทำหน้าที่สกรรมกริยากับ X กล่าวอีกนัยหนึ่งกลุ่ม G ทำหน้าที่สกรรมกริยากับเซต X ถ้าสำหรับสององค์ประกอบ x, x 'จาก X มีองค์ประกอบ g จาก G เช่นนั้น gx \u003d x ".

โคลงขององค์ประกอบ x จาก X เป็นกลุ่มย่อย

StG (x) \u003d (g G | gx \u003d x)

ชุดของจุดคงที่ขององค์ประกอบ g จาก G คือชุด

แก้ไข (g) \u003d (x X | gx \u003d x)

คาร์ดินาลิตี้ของวงโคจรเท่ากับดัชนีของโคลงในกลุ่ม G

ให้ K เป็นลูกบาศก์คงที่ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ G คือกลุ่มของการเคลื่อนที่ทั้งหมดของช่องว่างนี้ที่รักษาแนวและถ่ายโอน K ไปยัง K กลุ่ม G มีการเคลื่อนที่เหมือนกันการหมุน 120 °และ 240 °รอบสี่แกนผ่านจุดยอดตรงข้าม ลูกบาศก์, การหมุน 180 °เกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามและการหมุน 90 °, 180 °และ 270 °เกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของขอบด้านตรงข้าม ดังนั้นเราพบ 24 องค์ประกอบในกลุ่ม G ให้เราแสดงว่าไม่มีองค์ประกอบอื่นใน G กลุ่ม G ทำหน้าที่สกรรมกริยากับเซต K0 ของจุดยอดของคิวบ์ K เนื่องจากจุดยอดสองจุดใด ๆ จาก K สามารถ "เชื่อมต่อกันด้วยห่วงโซ่เพื่อนบ้าน" และจุดที่อยู่ติดกันสามารถแปลซึ่งกันและกันได้ด้วยการหมุนที่เหมาะสม โคลงของจุดยอด x ต้องอยู่ในตำแหน่งจุดยอด x "ที่ไกลที่สุดจากจุดยอดดังนั้นจึงประกอบด้วยการเคลื่อนที่และการหมุนที่เหมือนกันเกี่ยวกับแกน xx" โดย 120 °และ 240 ° ดังนั้น | G | \u003d | К° | * || \u003d 8 * 3 \u003d 24 และดังนั้นการหมุนเวียนทั้งหมดข้างต้นจึงเป็นกลุ่ม G

กลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มการหมุนของลูกบาศก์ ให้เราพิสูจน์ว่าการหมุนจาก G เปลี่ยนเส้นทแยงมุมสี่เส้นที่ยาวที่สุดของลูกบาศก์ homomorphism เกิดขึ้น: q: G\u003e เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิสซึมนี้คือ (e) เนื่องจากมีเพียงการเคลื่อนที่ที่เหมือนกันเท่านั้นที่ทำให้แต่ละเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เข้าที่ ดังนั้น G จึงเป็นไอโซมอร์ฟิกของกลุ่มย่อยของกลุ่ม เมื่อเปรียบเทียบคำสั่งของกลุ่มเหล่านี้เราจะเห็นว่า G.

กลุ่มสมมาตร

หนึ่งในตัวอย่างของกลุ่มที่ใช้บ่อยที่สุดและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มการเปลี่ยนแปลงคือกลุ่มที่ "วัด" ความสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิตทั้งแบบแบนและเชิงพื้นที่

กลุ่มสมมาตรของจัตุรมุข

จัตุรมุข (รูปที่ 1) มี 4 แกนสมมาตร l1, l2, l3, l4 ของลำดับที่สามผ่านจุดยอด 1, 2, 3, 4 และศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้าม รอบ ๆ แกนแต่ละแกนนอกจากแกนที่เหมือนกันแล้วยังสามารถหมุนได้อีกสองครั้ง การเรียงสับเปลี่ยนต่อไปนี้สอดคล้องกับ:

รอบแกน l1

รอบแกน l2

รอบแกน l3

รอบแกน l4

นอกจากนี้ยังมีแกนสมมาตร 3 แกนของลำดับที่ 2 ผ่านจุดกึ่งกลาง A, B, C, D, E, F ของขอบข้าม ดังนั้นจึงมีการเปลี่ยนแปลงที่ไม่ปรากฏอีก 3 คู่ (ตามจำนวนคู่ของขอบที่ข้าม) ซึ่งสอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน:

รอบแกน AB

รอบแกนซีดี

รอบแกน EF

ดังนั้นเมื่อรวมกับการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัวเราจะได้รับ 12 วิธี ด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จัตุรมุขปรับตัวได้เองหมุนไปในอวกาศ ในกรณีนี้คะแนนจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งเมื่อเทียบกัน ชุดของการเรียงสับเปลี่ยน 12 รายการที่เขียนออกมาถูกปิดตามการคูณเนื่องจากการดำเนินการตามลำดับของการหมุนของจัตุรมุขจะเป็นการหมุนเวียนอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงได้กลุ่มซึ่งเรียกว่ากลุ่มของการหมุนของจัตุรมุข

ภายใต้การเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ของพื้นที่ซึ่งเป็นการจัดตำแหน่งตัวเองของจัตุรมุขจุดภายในของจัตุรมุขจะเคลื่อนที่เมื่อเทียบกัน จัตุรมุขมีระนาบสมมาตร 6 ระนาบซึ่งแต่ละอันพาดผ่านขอบด้านใดด้านหนึ่งและตรงกลางของขอบด้านตรงข้าม ความสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับระนาบเหล่านี้สอดคล้องกับการเปลี่ยนตำแหน่งต่อไปนี้ในชุดของจุดยอดของจัตุรมุข:

จากข้อมูลเหล่านี้อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่ากลุ่มของสมมาตรที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจัตุรมุขประกอบด้วย 24 การเปลี่ยนแปลง อันที่จริงสมมาตรแต่ละอันที่จัดแนวจัตุรมุขโดยรวมจะต้องจัดเรียงจุดยอดขอบและใบหน้าใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีนี้สมมาตรสามารถจำแนกได้ด้วยการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดของจัตุรมุข เนื่องจากจัตุรมุขมีจุดยอด 4 จุดกลุ่มสมมาตรจึงไม่สามารถประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงได้มากกว่า 24 รูปแบบ กล่าวอีกนัยหนึ่งมันอาจเกิดขึ้นพร้อมกับ S4 กลุ่มสมมาตรหรือเป็นกลุ่มย่อยของมัน ความสมมาตรของจัตุรมุขเทียบกับระนาบที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นตัวกำหนดการเปลี่ยนตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดในชุดของจุดยอด เนื่องจากการเปลี่ยนตำแหน่งเหล่านี้ทำให้เกิดกลุ่มสมมาตร S4 เราจึงได้สิ่งที่จำเป็น ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของจุดยอดของจัตุรมุขจึงถูกกำหนดโดยสมมาตรบางส่วน อย่างไรก็ตามไม่สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโดยพลการของขอบของจัตุรมุข หากเราตกลงที่จะแสดงขอบแต่ละด้านของจัตุรมุขด้วยตัวอักษรเดียวกับจุดกึ่งกลางของมันให้พูดว่าการเรียงสับเปลี่ยนบนชุดของขอบ

สอดคล้องตามลำดับกับการหมุนสองรอบรอบแกน l1 และกับการหมุนรอบแกน AB เมื่อเขียนการเรียงสับเปลี่ยนในเซต (A, B.C, D, E, F) สำหรับการแปลงสมมาตรทั้งหมดเราจะได้กลุ่มย่อยบางกลุ่มของกลุ่มสมมาตร S6 ซึ่งประกอบด้วย 24 การเรียงสับเปลี่ยน กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดของจัตุรมุขและกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของขอบเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันเนื่องจากทำหน้าที่ในชุดที่แตกต่างกัน แต่เบื้องหลังพวกเขากลุ่มเดียวกันคือ "มองเห็นได้" - กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงของอวกาศที่ทิ้งจัตุรมุขไว้

กลุ่มสมมาตรของลูกบาศก์ ความสมมาตรของลูกบาศก์เช่นสมมาตรของจัตุรมุขแบ่งออกเป็นสองประเภทคือการจัดแนวด้วยตนเองซึ่งจุดของลูกบาศก์จะไม่เปลี่ยนตำแหน่งที่สัมพันธ์กันและการเปลี่ยนแปลงที่ปล่อยให้ลูกบาศก์อยู่ในตำแหน่งโดยรวม แต่ย้ายจุดที่สัมพันธ์กัน การเปลี่ยนแปลงประเภทแรกจะเรียกว่าการหมุนเวียน การหมุนเวียนทั้งหมดรวมกันเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มการหมุนคิวบ์

มีการหมุน 24 รอบของลูกบาศก์รอบแกนสมมาตรที่แตกต่างกัน

ในความเป็นจริงเมื่อหมุนลูกบาศก์ใบหน้าลูกบาศก์ใด ๆ ใน 6 หน้าสามารถแทนที่ใบหน้าด้านล่างได้ (รูปที่ 2) สำหรับความเป็นไปได้ทั้ง 6 ข้อ - เมื่อมีการระบุว่าใบหน้าใดอยู่ที่ด้านล่าง - มี 4 ตำแหน่งที่แตกต่างกันของลูกบาศก์ซึ่งสอดคล้องกับการหมุนรอบแกนที่ผ่านศูนย์กลางของใบหน้าด้านบนและด้านล่างที่มุม 0, p / 2, p, Zp / 2. ดังนั้นเราจึงได้6Х4 \u003d 24 ลูกบาศก์หมุนเวียน ให้เราระบุอย่างชัดเจน

ลูกบาศก์มีจุดศูนย์กลางสมมาตร (จุดตัดของเส้นทแยงมุม), สมมาตร 3 แกนของลำดับที่สี่, สมมาตร 4 แกนของลำดับที่สามและ 6 แกนสมมาตรของลำดับที่สอง การหมุนรอบแกนสมมาตรก็เพียงพอแล้ว

ก) แกนสมมาตรของลำดับที่สี่คือแกนที่ผ่านศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้าม รอบ ๆ แกนเหล่านี้มีการหมุนที่ไม่เหมือนกันสามแบบคือการหมุนผ่านมุม p / 2, p, 3p / 2 การหมุนเหล่านี้สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน 9 จุดของจุดยอดลูกบาศก์ซึ่งจุดยอดของใบหน้าด้านตรงข้ามจะเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมและสม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่นการเรียงสับเปลี่ยน

สอดคล้องกับการหมุนรอบแกน

b) แกนสมมาตรของลำดับที่สามคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ รอบ ๆ เส้นทแยงมุมทั้งสี่เส้นมีการหมุนที่ไม่เหมือนกันสองครั้งที่มุม 2p / 3, 4p / 3 ตัวอย่างเช่นการหมุนรอบเส้นทแยงมุมกำหนดวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของจุดยอดลูกบาศก์:

เราได้รับการหมุนเวียนทั้งหมด 8 ครั้ง

c) แกนสมมาตรของลำดับที่สองจะเป็นเส้นตรงที่เชื่อมต่อกับจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามของลูกบาศก์ ขอบตรงข้ามมีหกคู่ (ตัวอย่างเช่น ,,) แต่ละคู่กำหนดแกนสมมาตรหนึ่งแกนนั่นคือเราได้รับสมมาตร 6 แกนของลำดับที่สอง มีการหมุนรอบแกนแต่ละแกนที่ไม่เหมือนกันหนึ่งครั้ง เพียง 6 สปิน เมื่อรวมกับการเปลี่ยนแปลงตัวตนเราจะได้ 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 24 รอบที่แตกต่างกัน มีการระบุการหมุนลูกบาศก์ทั้งหมด การหมุนของคิวบ์กำหนดการเรียงสับเปลี่ยนบนชุดของจุดยอดขอบใบหน้าและเส้นทแยงมุม พิจารณาว่ากลุ่มการหมุนของลูกบาศก์ทำงานอย่างไรกับชุดของเส้นทแยงมุม การหมุนที่แตกต่างกันของคิวบ์ทำให้เส้นทแยงมุมของคิวบ์แตกต่างกันนั่นคือมันสอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันบนชุดของเส้นทแยงมุม ดังนั้นกลุ่มการหมุนของคิวบ์จึงกำหนดกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนบนชุดของเส้นทแยงมุมซึ่งประกอบด้วย 24 การเรียงสับเปลี่ยน เนื่องจากคิวบ์มีเพียง 4 เส้นทแยงมุมกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดจึงเกิดขึ้นพร้อมกับกลุ่มสมมาตรบนเซตของเส้นทแยงมุม ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์จึงสอดคล้องกับการหมุนบางส่วนและการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันจะสอดคล้องกับการหมุนที่แตกต่างกัน

ตอนนี้ให้เราอธิบายกลุ่มสมมาตรทั้งหมดของลูกบาศก์ ลูกบาศก์มีระนาบสมมาตรสามระนาบผ่านจุดศูนย์กลาง ความสมมาตรเกี่ยวกับระนาบเหล่านี้เมื่อรวมกับการหมุนทั้งหมดของลูกบาศก์ทำให้เรามีการเปลี่ยนแปลงอีก 24 รูปแบบซึ่งเป็นการจัดแนวของลูกบาศก์ด้วยตนเอง ดังนั้นกลุ่มสมมาตรเต็มของคิวบ์จึงประกอบด้วยการแปลง 48 ครั้ง

กลุ่มสมมาตรของรูปแปดเหลี่ยม Octahedrodine ของห้าเหลี่ยมปกติ สามารถหาได้โดยการเชื่อมต่อศูนย์กลางของใบหน้าของลูกบาศก์และพิจารณาร่างกายล้อมรอบด้วยระนาบที่กำหนดโดยเส้นเชื่อมสำหรับใบหน้าที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 3) ดังนั้นสมมาตรของลูกบาศก์ใด ๆ ในเวลาเดียวกันสมมาตรของรูปแปดหน้าและในทางกลับกัน ดังนั้นกลุ่มสมมาตรของรูปแปดหน้าจึงเหมือนกับกลุ่มสมมาตรของลูกบาศก์และประกอบด้วยการแปลง 48 ครั้ง

กลุ่มสมมาตรของ polytope ปกติประกอบด้วยการแปลง 2l โดยที่ l คือจำนวนของมุมแบน คำกล่าวนี้มีไว้สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในรูปแบบทั่วไปโดยไม่ต้องค้นหาความสมมาตรทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ให้ G เป็นกลุ่ม X บางชุดและ f: G × X → X

- จอแสดงผล เราหมายถึง f (g, x) โดย gx เราบอกว่าการกระทำของ G บน X จะได้รับ (หรือ G กระทำกับ X) ถ้า (gh) x \u003d g (hx) และ ex \u003d x สำหรับ g ทั้งหมด, h G, x X ในกรณีนี้เซต X เรียกว่า G-set

แสดงความคิดเห็น. อย่างแม่นยำมากขึ้นการกระทำที่กำหนดไว้นั้นเรียกว่า left ภายใต้การกระทำที่ถูกต้องจะมีการพิจารณาการแม็ป f: X × G → X โดยจะมีการนำสัญกรณ์ f (x, g) \u003d xg และต้องมีเงื่อนไขต่อไปนี้: x (gh) \u003d (xg) h และ xe \u003d x เป็นที่ชัดเจนว่าทุกสิ่งที่กล่าวไว้ด้านล่างเกี่ยวกับการกระทำด้านซ้ายนั้นเป็นความจริงเช่นกัน (พร้อมการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสม) สำหรับการกระทำที่ถูกต้อง ยิ่งไปกว่านั้นโปรดทราบว่าสูตร xg \u003d g - 1 x สร้างความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการกระทำด้านซ้ายและขวาของ G บน X (กล่าวคือการพูดอย่างคร่าวๆการกระทำทางซ้ายและขวาของกลุ่มคือ "หนึ่งเดียวกัน") การกระทำที่ถูกต้องจะเกิดขึ้นตามธรรมชาติในบทที่ 10

ส่วนย่อย Y X เรียกว่าชุดย่อย G ถ้า GY Y (นั่นคือ gy Y สำหรับ g G ทั้งหมด y Y)

ชุดย่อยของ G-set X ของรูปแบบ O (x) \u003d (gx | g G) เรียกว่าวงโคจรขององค์ประกอบ x X วงโคจรตรงกับส่วนย่อย G น้อยที่สุดของ X ความสัมพันธ์“ อยู่ในวงโคจรเดียว” คือความสัมพันธ์ที่เท่ากันบน X ดังนั้นวงโคจรจึงสร้างพาร์ติชัน ชุด X.

สำหรับ x X คงที่องค์ประกอบ g G เช่นนั้น gx \u003d x จะสร้างกลุ่มย่อยของ G ซึ่งเรียกว่าเสถียร

lysator (หรือกลุ่มย่อยที่อยู่กับที่ ) ขององค์ประกอบ x และแสดงด้วย St (x)

วงโคจรและตัวปรับเสถียรเชื่อมโยงกันดังนี้:

โจทย์ 7.1 | O (x) | \u003d สำหรับ x X ใด ๆ

ตัวอย่าง. ให้ X \u003d G และ G แสดงบน X โดยการผันคำกริยานั่นคือ (g, x) 7 → gxg - 1 วงโคจรที่มีการกระทำนี้เรียกว่า

คลาสคอนจูเกต และตัวปรับเสถียรภาพ (x) -ศูนย์กลาง องค์ประกอบ x (สัญกรณ์ - CG (x)) เห็นได้ชัดว่า C G (x) \u003d (ก G | ax \u003d xa) ยิ่งไปกว่านั้นถ้ากลุ่ม G มีจำนวน จำกัด แล้ว

CG (x)

โดยที่เมื่อรวม x จะวิ่งผ่านชุดตัวแทนของคลาสคอนจูเกต (กล่าวคือใช้องค์ประกอบหนึ่งจากแต่ละคลาส)

การใช้การกระทำนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 7.2 (ทฤษฎีบทของ Cauchy)ถ้าลำดับของกลุ่ม G หารด้วยจำนวนเฉพาะ p G จะมีองค์ประกอบของลำดับ p

7 .1. สร้างความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความสองคำต่อไปนี้ของการกระทำของกลุ่ม G บนชุด X:

1) การกระทำของ G บน X คือการจับคู่ G × X → X, (g, x) 7 → gx เช่นนั้น (g1 g2) x \u003d g1 (g2 x) และ ex \u003d x สำหรับ g1, g2 G, x X ทั้งหมด

2) การกระทำของ G บน X เป็น homomorphism G → S (X) (โดยที่ S (X)

– กลุ่มของ bijections ทั้งหมดของ X เข้าสู่ตัวมันเอง)

7 .2. พิสูจน์ว่าถ้า O (x) \u003d O (y) แล้ว St (x) จะผันเข้ากับ St (y) ตรงข้ามจริงหรือ?

7 .3. อธิบายวงโคจรและตัวปรับเสถียรภาพสำหรับการกระทำต่อไปนี้:

1) การดำเนินการของ G ในตัวเองโดยกะซ้าย (เช่น (g, x) 7 → gx);

2) การกระทำของ G กับตัวมันเองโดยการเลื่อนที่ถูกต้อง (เช่น (g, x) 7 → xg−1 );

3) การกระทำของ H บน G โดยเลื่อนไปทางซ้าย (ตามลำดับขวา) โดยที่ H< G;

x X St (x)

4) การกระทำของ G โดยการผันคำกริยาในชุดของกลุ่มย่อย (นั่นคือ (g, H) 7 → gHg−1 );

5) การกระทำของ G ในเซตของโคเซตที่ถูกต้อง G / H โดยที่ H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) การกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G \u003d GL (V) ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่สร้างขึ้นในช่องว่างเชิงเส้น V บน: a) V, b) V × V, c) ชุดของพื้นที่ย่อยเชิงเส้นทั้งหมดใน V;

7) การกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G \u003d O (V) ของตัวดำเนินการเชิงเส้นมุมฉากในปริภูมิยุคลิด V บน: a) V, b)

8) G \u003d hσiเป็นกลุ่มย่อยแบบวนรอบใน Sn, X \u003d (1, 2, ... , n)

7.4. * ไอโซมอร์ฟิซึมของการกระทำของกลุ่ม G ในเซต X และ Y คือการคาดคะเน f: X → Y ดังนั้น f (gx) \u003d gf (x) สำหรับ g ทั้งหมด, x X การกระทำของ G บน X เรียกว่าสกรรมกริยาถ้า สำหรับ x ทั้งหมด y X มี g G เช่นนั้น y \u003d gx (เช่น X

เป็นเพียงวงโคจรของการกระทำนี้). พิสูจน์ว่าทุกการกระทำของ G บน X คือ isomorphic ต่อการกระทำบน G / H สำหรับกลุ่มย่อยที่เหมาะสม H การกระทำของ G บนไอโซมอร์ฟิก G / H1 และ G / H2 คืออะไร?

7 .5. ค้นหากลุ่มออโตเมติกของการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่ม G ในเซต G / H

7 .6. พิสูจน์ว่าคำสั่งของคลาสคอนจูกาซีของกลุ่ม จำกัด แบ่งลำดับ

7.7. * พิสูจน์ว่าจุดศูนย์กลางของ p-group ที่ จำกัด นั้นไม่สำคัญ

7 .8. * พิสูจน์ว่าถ้า | G | \u003d p2 ดังนั้น G คือเอเบเลียน (นั่นคือ G คือ isomorphic ถึง Z (p2) หรือ Z (p) × Z (p))

7.9. * พิสูจน์ว่าถ้า G ไม่ใช่ Abelian และ | G | \u003d p3 แล้ว | C (G) | \u003d หน้า

7 .10. เคอร์เนลของการกระทำของ G บน X คือเคอร์เนลของ homomorphism ที่สอดคล้องกัน G → S (X)

a) ตรวจสอบว่าเคอร์เนลของการกระทำของ G บน X เท่ากับ b) ค้นหาเคอร์เนลของการกระทำของ G บน G / H โดยที่ H< G.

7 .11. * ให้ H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.

กลุ่มสมมาตรของ polytopes ปกติ

ใส่ O (3): \u003d (A GL (3, R) | ที่ A \u003d E), SO (3): \u003d O (3) ∩

SL (3, R) ให้ M R3 กลุ่มการหมุน M คือ

กรอ (M) \u003d (g SO (3) | gM \u003d M);

กลุ่มสมมาตร M คือ

Gsym (M) \u003d (g O (3) | gM \u003d M)

(เช่น Grot (M) \u003d Gsym (M) ∩ SO (3))

7 .12. พิสูจน์ว่า O (3) SO (3) × Z (2)

7.13. * ค้นหา | Grot (M) | และ | Gsym (M) | สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอัน (จัตุรมุข, ลูกบาศก์, รูปแปดหน้า, โดเดคาฮีดรอน, ไอโคซาเฮดรอน) ต่อจากนี้สันนิษฐานว่า M ถูกฝังอยู่ใน R3 เพื่อให้ศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิด

7.16. * ให้ M เป็นลูกบาศก์หรือแปดเหลี่ยม พิสูจน์ว่า Grot (M) S4.

7.17. * ให้ M เป็น icosahedron หรือ dodecahedron พิสูจน์ว่า

Grot (M) A5.

 

การอ่านอาจมีประโยชน์: